Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bước 1: Viết lại tổng AAA
Tổng AAA là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu a=1a = 1a=1 và công bội r=3r = 3r=3, số lượng số hạng là 100100100 (từ mũ 0 đến mũ 99).

Công thức tổng cấp số nhân:

A=∑k=0993k=3100−13−1=3100−12A = \sum_{k=0}^{99} 3^k = \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{100} - 1}{2}A=k=0∑993k=3−13100−1=23100−1
Bước 2: Xét tính chia hết cho 4
Ta cần chứng minh AAA chia hết cho 4, tức là:

4∣A ⟺ A≡0(mod4)4 \mid A \iff A \equiv 0 \pmod{4}4∣A⟺A≡0(mod4)Tức là:

3100−12≡0(mod4)\frac{3^{100} - 1}{2} \equiv 0 \pmod{4}23100−1≡0(mod4)Điều này tương đương với:

3100−1≡0(mod8)3^{100} - 1 \equiv 0 \pmod{8}3100−1≡0(mod8)vì nhân hai vế với 2, ta có:

3100−1≡0(mod8)3^{100} - 1 \equiv 0 \pmod{8}3100−1≡0(mod8)
Bước 3: Tính 3100(mod8)3^{100} \pmod{8}3100(mod8)
Ta biết rằng:

31≡3(mod8)3^1 \equiv 3 \pmod{8}31≡3(mod8) 32=9≡1(mod8)3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}32=9≡1(mod8)Do đó:

32≡1(mod8) ⟹ 3100=(32)50≡150=1(mod8)3^{2} \equiv 1 \pmod{8} \implies 3^{100} = (3^{2})^{50} \equiv 1^{50} = 1 \pmod{8}32≡1(mod8)⟹3100=(32)50≡150=1(mod8)
Bước 4: Kết luận
Vậy:

3100−1≡1−1=0(mod8)3^{100} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{8}3100−1≡1−1=0(mod8)Suy ra:

3100−1 chia heˆˊt cho 83^{100} - 1 \text{ chia hết cho } 83100−1 chia heˆˊt cho 8Nên:

A=3100−12 chia heˆˊt cho 4A = \frac{3^{100} - 1}{2} \text{ chia hết cho } 4A=23100−1 chia heˆˊt cho 4
Vậy tổng A=1+3+32+⋯+399A = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{99}A=1+3+32+⋯+399 chia hết cho 4.

...Xem thêm

Answer 2