Đây là bài toán “Ba tù nhân và ân xá” nổi tiếng, liên quan đến xác suất có điều kiện.

Tóm tắt tình huống:
Có 3 tù nhân: A, B, C.
Một người sẽ được tha (ân xá), mỗi người có cơ hội bằng nhau lúc đầu: ( \frac{1}{3} ).
A hỏi giám ngục cho biết tên một người trong số B hoặc C sẽ bị xử tử (chắc chắn không được tha).
Giám ngục trả lời: “B sẽ chết” (ví dụ).

Phân tích:
Trước khi biết thông tin:
(\Pr(A được tha) = \Pr(B được tha) = \Pr(C được tha) = \frac{1}{3}).
Sau khi giám ngục nói “B sẽ chết”:
Giám ngục không thể nói “A” (vì A hỏi), nên chỉ có thể nói “B” hoặc “C” tùy ai sẽ chết.
Giám ngục chọn nói “B” vì B chắc chắn bị xử tử.

Suy nghĩ của A: “Cơ hội của mình tăng từ 1/3 lên 1/2”
Suy nghĩ này sai vì giám ngục không chọn ngẫu nhiên giữa B và C, mà chọn một người chắc chắn bị tử hình.
Khi biết B chắc chắn chết, thì khả năng A được tha không tự động tăng lên 1/2 mà vẫn là:
[
\Pr(A được tha \mid giám ngục nói B chết) = \frac{1}{3}
]

Trong khi đó, xác suất C được tha trong trường hợp này là:
[
\Pr(C được tha \mid giám ngục nói B chết) = \frac{2}{3}
]

Kết luận:
Suy nghĩ của A là sai.
Cơ hội sống của A vẫn là 1/3, không thay đổi sau khi nghe giám ngục nói B sẽ chết.

Nếu bạn muốn, mình có thể giải thích chi tiết hơn với công thức xác suất có điều kiện nhé!

Dưới đây là phần phân tích chi tiết hơn với công thức xác suất có điều kiện cho bài toán “Ba tù nhân và ân xá”:

Gọi các biến:
( A ): Tù nhân A được tha.
( B ): Tù nhân B được tha.
( C ): Tù nhân C được tha.
( G ): Giám ngục nói “B sẽ chết”.

Bước 1: Xác suất ban đầu
[
P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}
]

Bước 2: Xác suất giám ngục nói “B chết” trong từng trường hợp
Nếu ( A ) được tha, giám ngục có thể chọn nói “B chết” hoặc “C chết” với xác suất bằng nhau (vì cả B và C đều bị xử tử). Giả sử xác suất giám ngục nói “B chết” là 0.5.
Nếu ( B ) được tha, giám ngục chắc chắn phải nói “C chết” (không thể nói B chết vì B được tha), nên xác suất giám ngục nói “B chết” là 0.
Nếu ( C ) được tha, giám ngục chắc chắn phải nói “B chết” (không thể nói C chết vì C được tha), xác suất giám ngục nói “B chết” là 1.

Bước 3: Tính ( P(G) ) – xác suất giám ngục nói “B chết”
[
P(G) = P(G|A)P(A) + P(G|B)P(B) + P(G|C)P(C) = 0.5 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} = \frac{0.5}{3} + 0 + \frac{1}{3} = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2}
]

Bước 4: Tính xác suất tù nhân A được tha khi biết giám ngục nói “B chết”
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

[
P(A|G) = \frac{P(G|A) \times P(A)}{P(G)} = \frac{0.5 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}
]

Bước 5: Tính xác suất tù nhân C được tha khi biết giám ngục nói “B chết”
[
P(C|G) = \frac{P(G|C) \times P(C)}{P(G)} = \frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}
]

Kết luận:
Xác suất A được tha sau khi biết giám ngục nói “B chết” vẫn là (\frac{1}{3}), không thay đổi.
Xác suất C được tha là (\frac{2}{3}).
Như vậy, suy nghĩ của tù nhân A là sai khi nghĩ rằng cơ hội của mình tăng lên 1/2.

Bạn có muốn mình giúp giải thích thêm hoặc minh họa bằng ví dụ khác không?

Tình huống ban đầu:Tù nhân A, B và C đều có xác suất được ân xá là 1/31 / 3
1/3
.

Giám ngục cho biết B chắc chắn chết:Giám ngục đã được yêu cầu chỉ định một trong hai người B hoặc C sẽ bị xử tử.
Điều này có nghĩa là giám ngục đang cung cấp thông tin về người sẽ bị xử tử (nếu B bị xử tử, C sẽ được ân xá; nếu C bị xử tử, B sẽ được ân xá).
Việc giám ngục nói rằng B chắc chắn chết không làm thay đổi xác suất ban đầu của A để được ân xá.

Lập luận của tù nhân A:A nghĩ rằng vì B chắc chắn chết, nên giờ chỉ còn mình và C, nên cơ hội được tha của mình đã tăng từ 1/31 / 3
1/3
lên 1/21 / 2
1/2
.
Lập luận này sai vì nó bỏ qua xác suất của sự kiện.

Phân tích xác suất:Cách 1: Xem xét tất cả các khả năng:Trường hợp 1: B được ân xá (xác suất 1/31 / 3
1/3
) -> A bị xử tử, C bị xử tử. Giám ngục không thể nói B sẽ chết, vì khả năng B được ân xá là 1/31 / 3
1/3
.
Trường hợp 2: C được ân xá (xác suất 1/31 / 3
1/3
) -> A bị xử tử, B bị xử tử. Giám ngục không thể nói B sẽ chết, vì khả năng B bị xử tử là 1/31 / 3
1/3
.
Trường hợp 3: A được ân xá (xác suất 1/31 / 3
1/3
) -> C bị xử tử, B bị xử tử. Giám ngục có thể chọn B hoặc C bị xử tử.
Vì A bị xử tử, và giám ngục đã chọn B bị xử tử, xác suất được ân xá của A là 1/31 / 3
1/3
.

Cách 2: Sử dụng định lý Bayes:Gọi E là sự kiện giám ngục chỉ ra B sẽ chết.
Gọi A là sự kiện A được ân xá.
Gọi B là sự kiện B được ân xá.
Gọi C là sự kiện C được ân xá.
P(A)=P(B)=P(C)=1/3cap P open paren cap A close paren equals cap P open paren cap B close paren equals cap P open paren cap C close paren equals 1 / 3
𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)=𝑃(𝐶)=1/3
.
P(E|A)=1/2cap P open paren cap E vertical line cap A close paren equals 1 / 2
𝑃(𝐸|𝐴)=1/2
(nếu A được ân xá, giám ngục có thể chọn B hoặc C).
P(E|B)=0cap P open paren cap E vertical line cap B close paren equals 0
𝑃(𝐸|𝐵)=0
(nếu B được ân xá, giám ngục không thể nói B sẽ chết).
P(E|C)=1cap P open paren cap E vertical line cap C close paren equals 1
𝑃(𝐸|𝐶)=1
(nếu C được ân xá, giám ngục sẽ nói B sẽ chết).
Ta cần tính P(A|E)=P(E|A)P(A)P(E)cap P open paren cap A vertical line cap E close paren equals the fraction with numerator cap P open paren cap E vertical line cap A close paren cap P open paren cap A close paren and denominator cap P open paren cap E close paren end-fraction
𝑃(𝐴|𝐸)=𝑃(𝐸|𝐴)𝑃(𝐴)𝑃(𝐸)
.
P(E)=P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B)+P(E|C)P(C)=(12*13)+(0*13)+(1*13)=16+0+13=12cap P open paren cap E close paren equals cap P open paren cap E vertical line cap A close paren cap P open paren cap A close paren plus cap P open paren cap E vertical line cap B close paren cap P open paren cap B close paren plus cap P open paren cap E vertical line cap C close paren cap P open paren cap C close paren equals open paren one-half * one-third close paren plus open paren 0 * one-third close paren plus open paren 1 * one-third close paren equals one-sixth plus 0 plus one-third equals one-half
𝑃(𝐸)=𝑃(𝐸|𝐴)𝑃(𝐴)+𝑃(𝐸|𝐵)𝑃(𝐵)+𝑃(𝐸|𝐶)𝑃(𝐶)=(12*13)+(0*13)+(1*13)=16+0+13=12
.
P(A|E)=12*1312=13cap P open paren cap A vertical line cap E close paren equals the fraction with numerator one-half * one-third and denominator one-half end-fraction equals one-third
𝑃(𝐴|𝐸)=12*1312=13
.
Vậy, xác suất được ân xá của A sau khi nghe giám ngục vẫn là $