Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

A=k=1∑1011(2k−11−2k1)

Answer 2

Để tính tổng \(A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \dots + \frac{1}{2021 \times 2022}\), ta có thể quan sát mẫu và tìm quy luật để dễ tính hơn.

Bước 1: Phân tích từng phần tử

Xét một phần tử tổng quát trong dãy:

\[
\frac{1}{(2k-1)(2k)} \quad \text{với } k = 1, 2, 3, \dots
\]

Vì các số hạng bắt đầu từ 1, 3, 5, ..., 2021, thì:

- Khi \(k=1\), ta có \(\frac{1}{1 \times 2}\),
- Khi \(k=2\), ta có \(\frac{1}{3 \times 4}\),
- Khi \(k=1011\), ta có \(\frac{1}{2021 \times 2022}\).

Vậy, tổng cần tính là:

\[
A = \sum_{k=1}^{1011} \frac{1}{(2k-1)(2k)}
\]

Bước 2: Phép phân tích phân phối

Ta áp dụng phân thức phân tích:

\[
\frac{1}{(2k-1)(2k)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k}
\]

Giải để tìm \(A\) và \(B\):

\[
1 = A \times 2k + B \times (2k - 1)
\]

Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là viết:

\[
\frac{1}{(2k-1)(2k)} = \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}
\]

Vì:

\[
\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{2k - (2k-1)}{(2k-1) \times 2k} = \frac{1}{(2k-1) \times 2k}
\]

Bước 3: Tính tổng

Vì vậy,

\[
A = \sum_{k=1}^{1011} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)
\]

Ta có thể viết thành:

\[
A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2021} - \frac{1}{2022} \right)
\]

Bước 4: Tính tổng

Dễ thấy tổng này là:

\[
A = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2021}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2022}\right)
\]

Đây là hiệu của tổng các phân thức của các số lẻ từ 1 đến 2021 trừ tổng các phân thức của các số chẵn từ 2 đến 2022.

Kết luận:

Tổng này có thể viết lại như:

\[
A = \left(\sum_{k=1}^{1011} \frac{1}{2k-1}\right) - \left(\sum_{k=1}^{1011} \frac{1}{2k}\right)
\]

Tóm lại:

\[
\boxed{
A = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2021}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2022}\right)
}
\]

Chúc bạn học tốt!

...Xem thêm

Answer 3