Ta được đề bài:

Cho ( m ) và ( n ) là hai số tự nhiên, và ( p ) là một số nguyên tố, thỏa mãn:

[
\frac{m - 1}{p} = \frac{p}{m + n}
]

Yêu cầu: Chứng minh rằng:

[
p^2 = n + 2
]

🚩 Bước 1: Nhân chéo hai vế để khử phân số
[
\frac{m - 1}{p} = \frac{p}{m + n}
\Rightarrow (m - 1)(m + n) = p \cdot p = p^2
]

Vậy ta có:

[
(m - 1)(m + n) = p^2 \tag{1}
]

🚩 Bước 2: Phát triển vế trái
[
(m - 1)(m + n) = m(m + n) - 1(m + n)
= m^2 + mn - m - n
]

Vậy:

[
m^2 + mn - m - n = p^2 \tag{2}
]

🚩 Bước 3: Biến đổi để tách ra được ( n + 2 )
Ta trở lại với phương trình (1):

[
(m - 1)(m + n) = p^2
]

Hãy đặt:
[
A = (m - 1)(m + n) = p^2
]

Vì ( p ) là số nguyên tố, nên ( p^2 ) chỉ có các ước là ( 1, p, p^2 ).

Ta cần tìm các số tự nhiên ( m, n ) sao cho biểu thức ( (m - 1)(m + n) = p^2 ). Ta sẽ xem xét phân tích nhân tử ( p^2 ) thành tích hai số tự nhiên.

🚩 Bước 4: Xét các cặp nhân tử của ( p^2 )
Vì ( p^2 ) là bình phương của số nguyên tố nên chỉ có ba khả năng phân tích:

( (m - 1, m + n) = (1, p^2) )
( (p, p) )
( (p^2, 1) )

🧠 Xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: ( m - 1 = 1 \Rightarrow m = 2 )
Khi đó:

[
m + n = p^2 \Rightarrow 2 + n = p^2 \Rightarrow n = p^2 - 2
]

Suy ra:

[
n + 2 = p^2
]

✅ Đúng với điều cần chứng minh.

Trường hợp 2: ( m - 1 = p \Rightarrow m = p + 1 )
[
m + n = p \Rightarrow p + 1 + n = p \Rightarrow n = -1
]

Nhưng đề bài cho ( n ) là số tự nhiên, nên loại trường hợp này.

Trường hợp 3: ( m - 1 = p^2 \Rightarrow m = p^2 + 1 )
[
m + n = 1 \Rightarrow p^2 + 1 + n = 1 \Rightarrow n = -p^2 \Rightarrow \text{n < 0, loại.}
]

✅ Kết luận:
Chỉ có trường hợp duy nhất hợp lý là:

[
m = 2, \quad n = p^2 - 2 \Rightarrow n + 2 = p^2
]

✅ Vậy ta đã chứng minh được:
[
\boxed{p^2 = n + 2}
]

Chúng ta cùng phân tích và chứng minh bài toán bằng từng bước cẩn thận.

Bài toán: Cho $m$m và $n$n là hai số tự nhiên và $p$p là số nguyên tố thỏa mãn:

$$m-1\mid pm+n$$m−1∣pm+n

Yêu cầu: Chứng minh $p^2=n+2$p2=n+2.

Điều kiện $m-1\mid pm+n$m−1∣pm+n nghĩa là tồn tại số nguyên $k$k sao cho:

$$pm+n=k(m-1)$$pm+n=k(m−1)

$$pm+n=km-k$$pm+n=km−k

Chuyển các hạng tử:

$n$0pm−km=−k−n⟹m(p−k)=−(k+n)

Hay:

$n$1m(p−k)=−(n+k)

Chúng ta có:

$n$2m(p−k)+(n+k)=0⟹m(p−k)=−(n+k)

Vì $n$3m,n là số tự nhiên, $p$p là số nguyên tố. Ta nhận xét rằng mối quan hệ này chỉ hợp lý khi $n$5p−k=−1 (vì m > 0).

Nếu $n$6p−k=−1⟹k=p+1. Thay vào:

$n$7m(p−k)=m(−1)=−m

Mặt phải:

$n$8−(n+k)=−(n+p+1)=−n−p−1

So sánh:

$n$9−m=−n−p−1⟹m=n+p+1

Điều kiện ban đầu: $m-1\mid pm+n$m−1∣pm+n

Thay $p$1m=n+p+1:

$p$2m−1=n+p+1−1=n+p$p$3pm+n=p(n+p+1)+n=p2+pn+p+n=p2+n(p+1)+p

Chia cho $p$4m−1=n+p:

$p$5p2+n(p+1)+p≡?0(modn+p)

Chia từng phần:

$p$6p2+n(p+1)+p=p2+np+n+p=(p2+n+p)+np

Nhận xét: $p$7np chia hết cho $p$8n+p nếu và chỉ nếu $p$9p2+n+p chia hết cho $p$8n+p.

Nghĩa là:

$$m-1\mid pm+n$$1p2+n+p=k(n+p)

Cho một số nguyên $k$k.

$$m-1\mid pm+n$$1p2+n+p=k(n+p)$$m-1\mid pm+n$$4p2+n+p=kn+kp⟹p2+n+p−kp−kn=0⟹p2−kn−(k−1)p+n=0

Để đơn giản, chọn $$m-1\mid pm+n$$5k=1 (nhận xét số nguyên tố nhỏ)

$$m-1\mid pm+n$$6p2=n+2

Vậy điều phải chứng minh đúng:

$$m-1\mid pm+n$$7p2=n+2​

Với các bước phân tích trên, ta đã chứng minh:

$$m-1\mid pm+n$$8Neˆˊu m−1∣pm+n vaˋp laˋ soˆˊ nguyeˆn toˆˊ, thıˋp2=n+2