Bài toán yêu cầu chứng minh rằng với hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$f(x)=ax2+bx+c và điều kiện $9a+2c>0$9a+2c>0, thì trong ba số $f(1),f(-2),f(3)$f(1),f(−2),f(3) có ít nhất một số không âm.

Ta thực hiện các bước chứng minh như sau:

1. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đã cho: Ta có hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$f(x)=ax2+bx+c. Tính giá trị của hàm số tại $x=1$x=1, $x=-2$x=−2, và $x=3$x=3:

   • $f(1)=a(1{)}^2+b(1)+c=a+b+c$f(1)=a(1)2+b(1)+c=a+b+c
   • $f(-2)=a(-2{)}^2+b(-2)+c=4a-2b+c$f(−2)=a(−2)2+b(−2)+c=4a−2b+c
   • $f(3)=a(3{)}^2+b(3)+c=9a+3b+c$f(3)=a(3)2+b(3)+c=9a+3b+c

2. Xét một tổ hợp tuyến tính của ba giá trị $f(1),f(-2),f(3)$f(1),f(−2),f(3): Ta cần tìm các hệ số $w_1,w_2,w_3$w1​,w2​,w3​ sao cho tổ hợp tuyến tính $w_{1}f(1)+w_{2}f(-2)+w_{3}f(3)$w1​f(1)+w2​f(−2)+w3​f(3) có hệ số của $b$b bằng 0 và phần còn lại có thể liên hệ với điều kiện đã cho $9a+2c>0$9a+2c>0. Tổ hợp tuyến tính là: $w_1(a+b+c)+w_2(4a-2b+c)+w_3(9a+3b+c)$w1​(a+b+c)+w2​(4a−2b+c)+w3​(9a+3b+c) $=(w_1+4w_2+9w_3)a+(w_1-2w_2+3w_3)b+(w_1+w_2+w_3)c$=(w1​+4w2​+9w3​)a+(w1​−2w2​+3w3​)b+(w1​+w2​+w3​)c

   Để hệ số của $b$b bằng 0, ta có phương trình: $w_1-2w_2+3w_3=0$w1​−2w2​+3w3​=0

   Chọn các hệ số nguyên thỏa mãn phương trình này. Một bộ hệ số phù hợp là $w_1=1,w_2=2,w_3=1$w1​=1,w2​=2,w3​=1. Kiểm tra: $1-2(2)+3(1)=1-4+3=0$1−2(2)+3(1)=1−4+3=0.

   Bây giờ, ta tính giá trị của tổ hợp tuyến tính với các hệ số này: $1\cdot f(1)+2\cdot f(-2)+1\cdot f(3)$1⋅f(1)+2⋅f(−2)+1⋅f(3) $=1\cdot (a+b+c)+2\cdot (4a-2b+c)+1\cdot (9a+3b+c)$=1⋅(a+b+c)+2⋅(4a−2b+c)+1⋅(9a+3b+c) $=(a+b+c)+(8a-4b+2c)+(9a+3b+c)$=(a+b+c)+(8a−4b+2c)+(9a+3b+c) $=(1+8+9)a+(1-4+3)b+(1+2+1)c$=(1+8+9)a+(1−4+3)b+(1+2+1)c $=18a+0b+4c$=18a+0b+4c $=18a+4c$=18a+4c Ta có thể viết lại kết quả này như sau: $18a+4c=2(9a+2c)$18a+4c=2(9a+2c)

3. Sử dụng điều kiện đã cho để đưa ra kết luận: Theo đề bài, ta có $9a+2c>0$9a+2c>0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 2 (là một số dương), ta được: $2(9a+2c)>0$2(9a+2c)>0 Suy ra, $1\cdot f(1)+2\cdot f(-2)+1\cdot f(3)>0$1⋅f(1)+2⋅f(−2)+1⋅f(3)>0.

4. Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử ngược lại rằng cả ba số $f(1),f(-2),f(3)$f(1),f(−2),f(3) đều là số âm. Khi đó, ta có:

   • $f(1)<0$f(1)<0
   • $f(-2)<0$f(−2)<0
   • $f(3)<0$f(3)<0

   Vì các hệ số $w_1=1,w_2=2,w_3=1$w1​=1,w2​=2,w3​=1 đều dương, ta có:

   • $1\cdot f(1)<0$1⋅f(1)<0
   • $2\cdot f(-2)<0$2⋅f(−2)<0
   • $1\cdot f(3)<0$1⋅f(3)<0

   Cộng ba bất đẳng thức trên lại, ta được: $1\cdot f(1)+2\cdot f(-2)+1\cdot f(3)<0$1⋅f(1)+2⋅f(−2)+1⋅f(3)<0

   Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với kết quả ta đã chứng minh ở bước 3: $1\cdot f(1)+2\cdot f(-2)+1\cdot f(3)>0$1⋅f(1)+2⋅f(−2)+1⋅f(3)>0. Mâu thuẫn này xảy ra do giả sử ban đầu của chúng ta là sai.

   Do đó, giả sử "cả ba số $f(1),f(-2),f(3)$f(1),f(−2),f(3) đều là số âm" là sai. Điều này có nghĩa là phải có ít nhất một trong ba số đó không âm (tức là lớn hơn hoặc bằng 0). Vậy, điều phải chứng minh là đúng.