Phân tích bài toán:
Ta có tam giác ABC:

Góc A chưa biết → ta tính được:

A=180∘−B−C=180∘−45∘−75∘=60∘A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circA=180∘−B−C=180∘−45∘−75∘=60∘
Vậy tam giác ABC có các góc:

A = 60°, B = 45°, C = 75°
Cạnh BC = a = 5

 Mục tiêu: Tính bán kính đường tròn nội tiếp (r)
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:

r=Spr = \frac{S}{p}r=pS​Trong đó:

S là diện tích tam giác
p là nửa chu vi: p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}p=2a+b+c​
Vậy, cần tính được các cạnh còn lại (AB = c, AC = b) để tính diện tích và chu vi.

 Bước 1: Sử dụng Định lý sin để tính cạnh b và c
Áp dụng định lý sin:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}sinAa​=sinBb​=sinCc​Ta có:
a = 5
A = 60° → sin A = sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}sin60∘=23​​
B = 45° → sin B = 22\frac{\sqrt{2}}{2}22​​
C = 75° → sin C ≈ 0.9659
Tính:

5sin⁡60∘=532=103≈5.7735\frac{5}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.7735sin60∘5​=23​​5​=3​10​≈5.7735→ Dùng kết quả này để tính b và c:

Cạnh b = AC:
b=sin⁡B⋅asin⁡A=22⋅532=523≈4.0825b = \frac{\sin B \cdot a}{\sin A} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 4.0825b=sinAsinB⋅a​=23​​22​​⋅5​=3​52​​≈4.0825Cạnh c = AB:
c=sin⁡C⋅asin⁡A=0.9659⋅532≈4.82950.866≈5.575c = \frac{\sin C \cdot a}{\sin A} = \frac{0.9659 \cdot 5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx \frac{4.8295}{0.866} \approx 5.575c=sinAsinC⋅a​=23​​0.9659⋅5​≈0.8664.8295​≈5.575
 Bước 2: Tính nửa chu vi ppp
p=a+b+c2=5+4.0825+5.5752≈14.65752≈7.32875p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 4.0825 + 5.575}{2} \approx \frac{14.6575}{2} \approx 7.32875p=2a+b+c​=25+4.0825+5.575​≈214.6575​≈7.32875
 Bước 3: Tính diện tích tam giác (S)
Dùng công thức diện tích tam giác theo 2 cạnh và góc xen giữa:

S=12bcsin⁡AS = \frac{1}{2}bc \sin AS=21​bcsinA S=12⋅b⋅c⋅sin⁡60∘S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin 60^\circS=21​⋅b⋅c⋅sin60∘b ≈ 4.0825
c ≈ 5.575
sin 60° = 32≈0.866\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.86623​​≈0.866
S≈12⋅4.0825⋅5.575⋅0.866≈11.089S \approx \frac{1}{2} \cdot 4.0825 \cdot 5.575 \cdot 0.866 \approx 11.089S≈21​⋅4.0825⋅5.575⋅0.866≈11.089
 Bước 4: Tính bán kính đường tròn nội tiếp
r=Sp=11.0897.32875≈1.513r = \frac{S}{p} = \frac{11.089}{7.32875} \approx 1.513r=pS​=7.3287511.089​≈1.513
 Kết luận:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là khoảng

1.51\boxed{1.51}1.51​(đơn vị cùng với cạnh, tức là nếu BC = 5 cm thì r ≈ 1.51 cm)