Ta cần giải phương trình:

$$\begin{array}{cccc}& \sqrt{6x-1}=2x^2-3x& & \text{(1)}\end{array}$$6x−1​=2x2−3x(1)

Vì có căn bậc hai, nên biểu thức dưới căn phải không âm:

$$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$6x−1≥0⇒x≥61​

Đây là điều kiện xác định của phương trình.

Ta có:

$$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$6x−1​=2x2−3x⇒(6x−1)=(2x2−3x)2

Giải phương trình:

$$(2x^2-3x{)}^2=(2x^2{)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3x+(3x{)}^2=4x^4-12x^3+9x^2$$(2x2−3x)2=(2x2)2−2⋅2x2⋅3x+(3x)2=4x4−12x3+9x2

Vậy ta có:

$$\begin{array}{cccc}& 6x-1=4x^4-12x^3+9x^2\Rightarrow 4x^4-12x^3+9x^2-6x+1=0& & \text{(2)}\end{array}$$6x−1=4x4−12x3+9x2⇒4x4−12x3+9x2−6x+1=0(2)

Xét đa thức:

$$4x^4-12x^3+9x^2-6x+1=0$$4x4−12x3+9x2−6x+1=0

Dùng phân tích hoặc thử nghiệm nghiệm hữu tỉ.

Thử $x=1$x=1:

$$4(1{)}^4-12(1{)}^3+9(1{)}^2-6(1)+1=4-12+9-6+1=-4\mathrm{\ne }0$$4(1)4−12(1)3+9(1)2−6(1)+1=4−12+9−6+1=−4=0

Thử $x=\frac{1}{2}$x=21​:

$$4{\left(\frac{1}{2}\right)}^4-12{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+9{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6\left(\frac{1}{2}\right)+1=4\cdot \frac{1}{16}-12\cdot \frac{1}{8}+9\cdot \frac{1}{4}-3+1=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-3+1=(\frac{1}{4}+\frac{9}{4})-(\frac{3}{2}+3)+1=\frac{10}{4}-\frac{9}{2}+1=\frac{5}{2}-\frac{9}{2}+1=-2+1=-1\mathrm{\ne }0$$4(21​)4−12(21​)3+9(21​)2−6(21​)+1=4⋅161​−12⋅81​+9⋅41​−3+1=41​−23​+49​−3+1=(41​+49​)−(23​+3)+1=410​−29​+1=25​−29​+1=−2+1=−1=0

Thử $$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$0x=31​:

$$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$14⋅(31​)4−12⋅(31​)3+9⋅(31​)2−6⋅31​+1=4⋅811​−12⋅271​+9⋅91​−2+1=814​−94​+1−2+1=(814​+1+1)−94​−2=(814​+2)−94​−2=814​−94​=814​−8136​=−8132​=0

Thử nghiệm không hiệu quả. Ta thử đổi biến.

Giả sử $$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$2y=2x2−3x, ta có:

$$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$36x−1​=y⇒6x−1=y2⇒x=6y2+1​

Thế vào biểu thức $$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$2y=2x2−3x:

$$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$5y=2⋅(6y2+1​)2−3⋅(6y2+1​)

Ta sẽ giải phương trình này theo y (hơi phức tạp), nhưng có cách khác dễ hơn:

Ta thử một số giá trị $$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$6x≥61​

• Vế trái: $$6x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{6}$$96⋅1−1​=5​≈2.236

• Vế phải: $$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$02⋅12−3⋅1=2−3=−1

Không bằng nhau.

• Vế trái: $$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$26⋅2−1​=11​≈3.316

• Vế phải: $$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$32⋅4−3⋅2=8−6=2 → sai

• Vế trái: $$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$56⋅21​−1​=3−1​=2​≈1.414

• Vế phải: $$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$62⋅41​−3⋅21​=21​−23​=−1 → không đúng

• Trái: $$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$86⋅31​−1​=2−1​=1​=1

• Phải: $$\sqrt{6x-1}=2x^2-3x\Rightarrow (6x-1)=(2x^2-3x{)}^2$$92⋅(31​)2−3⋅31​=92​−1=−97​ → sai

• Trái: $$(2x^2-3x{)}^2=(2x^2{)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3x+(3x{)}^2=4x^4-12x^3+9x^2$$16⋅61​−1​=1−1​=0

• Phải: $$(2x^2-3x{)}^2=(2x^2{)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3x+(3x{)}^2=4x^4-12x^3+9x^2$$22⋅(61​)2−3⋅61​=362​−63​=181​−21​=−188​=−94​

• Trái: $$(2x^2-3x{)}^2=(2x^2{)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3x+(3x{)}^2=4x^4-12x^3+9x^2$$46⋅3−1​=17​≈4.12

• Phải: $$(2x^2-3x{)}^2=(2x^2{)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3x+(3x{)}^2=4x^4-12x^3+9x^2$$52⋅9−3⋅3=18−9=9

→ Không trùng nhau

• Trái: $$(2x^2-3x{)}^2=(2x^2{)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3x+(3x{)}^2=4x^4-12x^3+9x^2$$76⋅1.5−1​=9−1​=8​≈2.828

• Phải: $$(2x^2-3x{)}^2=(2x^2{)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3x+(3x{)}^2=4x^4-12x^3+9x^2$$82⋅(1.5)2−3⋅1.5=2⋅2.25−4.5=4.5−4.5=0 → không đúng

• Vế trái: $$\begin{array}{cccc}& 6x-1=4x^4-12x^3+9x^2\Rightarrow 4x^4-12x^3+9x^2-6x+1=0& & \text{(2)}\end{array}$$06⋅21​−1​=3−1​=2​

• Vế phải: ( 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}