Ta cần chứng minh 2 điều sau:

Bài toán:
Cho hai số có dạng:

abababababab (gồm 4 chữ số)
abcabcabcabcabcabc (gồm 6 chữ số)
Chứng minh rằng:

abab⋅abcabcabab \cdot abcabcabab⋅abcabc chia hết cho 11
abab+abcabcabab + abcabcabab+abcabc chia hết cho 11

🎯 BƯỚC 1: BIỂU DIỄN SỐ
Số abababababab
Có dạng:

abab=1000a+100b+10a+b=1010a+101babab = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101babab=1000a+100b+10a+b=1010a+101bSố abcabcabcabcabcabc
Có dạng:

abcabc=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001cabcabc = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c = 100100a + 10010b + 1001cabcabc=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c
✅ BƯỚC 2: XÉT CHIA HẾT CHO 11
A. Chứng minh abab⋅abcabcabab \cdot abcabcabab⋅abcabc chia hết cho 11
Xét chia hết cho 11:

Ta biết:
1010 = 11 × 91.8181... → chia hết cho 11
101 = 11 × 9.1818... → chia hết cho 11
→ abab=1010a+101babab = 1010a + 101babab=1010a+101b chia hết cho 11

Tương tự:

abcabc=100100a+10010b+1001cabcabc = 100100a + 10010b + 1001cabcabc=100100a+10010b+1001cTa thấy:

100100 = 11 × 9100
10010 = 11 × 910
1001 = 11 × 91
→ abcabc cũng chia hết cho 11

Suy ra: Tích abab⋅abcabcabab \cdot abcabcabab⋅abcabc chia hết cho 11.

B. Chứng minh abab+abcabcabab + abcabcabab+abcabc chia hết cho 11
Ta cộng hai số đã phân tích:

abab+abcabc=(1010a+101b)+(100100a+10010b+1001c)abab + abcabc = (1010a + 101b) + (100100a + 10010b + 1001c)abab+abcabc=(1010a+101b)+(100100a+10010b+1001c) =(1010a+100100a)+(101b+10010b)+1001c=a(1010+100100)+b(101+10010)+1001c=a(101110)+b(10111)+1001c= (1010a + 100100a) + (101b + 10010b) + 1001c = a(1010 + 100100) + b(101 + 10010) + 1001c = a(101110) + b(10111) + 1001c=(1010a+100100a)+(101b+10010b)+1001c=a(1010+100100)+b(101+10010)+1001c=a(101110)+b(10111)+1001cXét các hệ số:

101110 chia hết cho 11 (vì 101110 = 11 × 9191.818...)
10111 chia hết cho 11
1001 chia hết cho 11 (vì 1001 = 11 × 91)
→ Tổng abab + abcabc cũng chia hết cho 11.

✅ KẾT LUẬN:
1. abab⋅abcabc chia heˆˊt cho 112. abab+abcabc chia heˆˊt cho 11\boxed{ \begin{align*} 1. &\ abab \cdot abcabc \ \text{chia hết cho 11} \\ 2. &\ abab + abcabc \ \text{chia hết cho 11} \end{align*} }1.2.​ abab⋅abcabc chia heˆˊt cho 11 abab+abcabc chia heˆˊt cho 11​​✔ Đã chứng minh xong.