Cho 3 số dương a,b,c thỏa a2+b2+c2+abc=4. Chứng minh
Quảng cáo
2 câu trả lời 419
5 tháng trước
$ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 $
$ \Leftrightarrow a^2 + (bc)a + (b^2 + c^2 - 4) = 0 $
$ \Delta_a = (bc)^2 - 4(b^2 + c^2 - 4) = b^2c^2 - 4b^2 - 4c^2 + 16 = (4-b^2)(4-c^2) $
$ a = \frac{-bc \pm \sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2} $
$ \Leftrightarrow 2a + bc = \pm \sqrt{(4-b^2)(4-c^2)} $
$ \text{Do } a,b,c > 0 \Rightarrow 2a+bc > 0 \Rightarrow \sqrt{(4-b^2)(4-c^2)} = 2a+bc $
$ \text{Tương tự, ta có:} $
$ \sqrt{(4-a^2)(4-c^2)} = 2b+ac $
$ \sqrt{(4-a^2)(4-b^2)} = 2c+ab $
$ \text{VT} = a(2a+bc) + b(2b+ac) + c(2c+ab) $
$ \text{VT} = 2a^2 + abc + 2b^2 + abc + 2c^2 + abc $
$ \text{VT} = 2(a^2+b^2+c^2) + 3abc $
$ \text{Mà } a^2+b^2+c^2 = 4-abc $
$ \text{VT} = 2(4-abc) + 3abc $
$ \text{VT} = 8 - 2abc + 3abc $
$ \text{VT} = 8 + abc \quad (\text{đpcm}) $
$ \Leftrightarrow a^2 + (bc)a + (b^2 + c^2 - 4) = 0 $
$ \Delta_a = (bc)^2 - 4(b^2 + c^2 - 4) = b^2c^2 - 4b^2 - 4c^2 + 16 = (4-b^2)(4-c^2) $
$ a = \frac{-bc \pm \sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2} $
$ \Leftrightarrow 2a + bc = \pm \sqrt{(4-b^2)(4-c^2)} $
$ \text{Do } a,b,c > 0 \Rightarrow 2a+bc > 0 \Rightarrow \sqrt{(4-b^2)(4-c^2)} = 2a+bc $
$ \text{Tương tự, ta có:} $
$ \sqrt{(4-a^2)(4-c^2)} = 2b+ac $
$ \sqrt{(4-a^2)(4-b^2)} = 2c+ab $
$ \text{VT} = a(2a+bc) + b(2b+ac) + c(2c+ab) $
$ \text{VT} = 2a^2 + abc + 2b^2 + abc + 2c^2 + abc $
$ \text{VT} = 2(a^2+b^2+c^2) + 3abc $
$ \text{Mà } a^2+b^2+c^2 = 4-abc $
$ \text{VT} = 2(4-abc) + 3abc $
$ \text{VT} = 8 - 2abc + 3abc $
$ \text{VT} = 8 + abc \quad (\text{đpcm}) $
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5726
Thành viên hăng hái nhất trong tuần
-
2235 điểm
-
I miss you
2045 điểm
-
𓇼 ⋆.˚annabelle⋆.˚ 𓇼 1260 điểm
-
Judy Hopps
1100 điểm
-
bích hồng nguyễn 760 điểm
-
`color{red}text{HuyTùng`
530 điểm
-
zai đẹp siu
490 điểm
-
lọ hà nội
440 điểm
-
dũng ngon hơn ok
405 điểm
-
Haruto[pad] 395 điểm
-
chê ng tốt chốt ng tồi.
365 điểm
-
n.t.an
300 điểm
-
⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･𝙇ệ_ဗီူ_𝙥𝙝𝙪_ဗီူ_𝙣𝙝â𝙣⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･
245 điểm
-
minhxinhquama
190 điểm
-
✿ 𝓝𝓪̂́𝓶 🍄
180 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
3 năm trước5728
-
3 năm trước5106
-
3 năm trước4632
-
3 năm trước4612
Gửi báo cáo thành công!
