Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét.

Bài 1: Chứng minh phương trình x2−7x+1=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và tính giá trị của biểu thức M=x12+x22−x1x2 (không giải phương trình).
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Phương trình đã cho là x2−7x+1=0. Đây là một phương trình bậc hai có dạng ax2+bx+c=0, với a=1, b=−7, c=1.

Để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần tính biệt thức Δ: Δ=b2−4ac Δ=(−7)2−4(1)(1) Δ=49−4 Δ=45

Vì Δ=45>0, nên phương trình x2−7x+1=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2.

b) Tính giá trị của biểu thức M=x12+x22−x1x2:

Theo hệ thức Vi-ét, đối với phương trình x2−7x+1=0, ta có:

Tổng hai nghiệm: x1+x2=−ab=−1−7=7
Tích hai nghiệm: x1x2=ac=11=1
Bây giờ, ta sẽ biến đổi biểu thức M: M=x12+x22−x1x2 Ta biết rằng x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2. Thay vào biểu thức M: M=[(x1+x2)2−2x1x2]−x1x2 M=(x1+x2)2−3x1x2

Bây giờ, thay các giá trị từ hệ thức Vi-ét vào biểu thức M: M=(7)2−3(1) M=49−3 M=46

Vậy, giá trị của biểu thức M=46.

Bài 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng -10.
Gọi hai số cần tìm là x và y. Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

x+y=3
xy=−10
Từ hệ thức Vi-ét, ta biết rằng nếu hai số x và y có tổng là S và tích là P, thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai: t2−St+P=0. Trong trường hợp này, S=3 và P=−10. Vậy, x và y là nghiệm của phương trình: t2−3t+(−10)=0 t2−3t−10=0

Để giải phương trình này, ta có thể dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ta tìm hai số có tích bằng -10 và tổng bằng -3 (hệ số của t). Đó là -5 và 2. Vậy, phương trình có thể được phân tích thành: (t−5)(t+2)=0

Từ đó, ta có hai nghiệm: t−5=0⇒t1=5 t+2=0⇒t2=−2

Vậy, hai số cần tìm là 5 và -2.

Kiểm tra lại:

Tổng: 5+(−2)=3 (Đúng)
Tích: 5×(−2)=−10 (Đúng)

Bài 3: Cô An trồng một vụ rau trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 14 m. Khi thu hoạch, cô An bán rau được bình quân 10 (nghìn đồng) trên mỗi mét vuông đất. Tính chiều rộng và chiều dài của thửa đất đó, biết tổng số tiền cô An bán rau thu hoạch từ thửa đất đó 950 (nghìn đồng).
Gọi chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật là x (mét). (Điều kiện: x>0) Vì chiều dài hơn chiều rộng 14 m, nên chiều dài của thửa đất là x+14 (mét).

Diện tích của thửa đất hình chữ nhật là: S=chieˆˋu daˋi×chieˆˋu rộng S=(x+14)x=x2+14x (mét vuông).

Tổng số tiền cô An bán rau thu hoạch là 950 nghìn đồng. Giá bán rau bình quân là 10 nghìn đồng trên mỗi mét vuông đất. Vậy, diện tích của thửa đất cũng có thể tính bằng: S=Giaˊ baˊn treˆn moˆ˜i meˊt vuoˆngTổng soˆˊ tieˆˋn=10950=95 (mét vuông).

Bây giờ, ta có phương trình: x2+14x=95 Chuyển về dạng phương trình bậc hai: x2+14x−95=0

Ta giải phương trình bậc hai này. Tính biệt thức Δ: a=1,b=14,c=−95 Δ=b2−4ac=(14)2−4(1)(−95) Δ=196+380 Δ=576

Vì Δ>0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x=2a−b±Δ x1=2(1)−14+576 =2−14+24=210=5 x2=2(1)−14−576 =2−14−24=2−38=−19

Vì chiều rộng x phải là một giá trị dương (x>0), nên ta chọn x=5.

Vậy:

Chiều rộng của thửa đất là 5 m.
Chiều dài của thửa đất là $x + 14 = 5 + 14 = 19 m.
Kiểm tra lại:

Chiều dài hơn chiều rộng 14m: 19−5=14 (Đúng)
Diện tích: 19×5=95 (mét vuông)
Tổng số tiền: 95×10=950 (nghìn đồng) (Đúng)

...Xem thêm

Answer 2