Chúng ta sẽ tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bằng cách sử dụng phép toán đồng dư.

Gọi số cần tìm là xx. Ta có hệ đồng dư sau:

x≡2 (mod 3)x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 3)
x≡6 (mod 7)x \equiv 6 \ (\text{mod} \ 7)
x≡24 (mod 25)x \equiv 24 \ (\text{mod} \ 25)
Bắt đầu tìm nghiệm:

Biểu diễn dạng tổng quát: Theo điều kiện đầu tiên, số xx có dạng:
x=3k+2x = 3k + 2
với kk là số nguyên.

Thay vào điều kiện thứ hai:
3k+2≡6 (mod 7)3k + 2 \equiv 6 \ (\text{mod} \ 7)
Chuyển về dạng chuẩn:

3k≡4 (mod 7)3k \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7)
Tìm kk thỏa mãn 3k≡4 (mod 7)3k \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7). Kiểm tra các giá trị nhỏ của kk:

k=6⇒3(6)=18≡4 (mod 7)k = 6 \Rightarrow 3(6) = 18 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) ✅
Vậy k=7m+6k = 7m + 6, và thay vào xx:

x=3(7m+6)+2=21m+18+2=21m+20x = 3(7m + 6) + 2 = 21m + 18 + 2 = 21m + 20
Thay vào điều kiện thứ ba:
21m+20≡24 (mod 25)21m + 20 \equiv 24 \ (\text{mod} \ 25)
Chuyển về dạng chuẩn:

21m≡4 (mod 25)21m \equiv 4 \ (\text{mod} \ 25)
Tìm mm:

21−1≡16 (mod 25)21^{-1} \equiv 16 \ (\text{mod} \ 25) (nghịch đảo của 21 theo mod 25)
Nhân cả hai vế với 16:
m≡4×16=64≡14 (mod 25)m \equiv 4 \times 16 = 64 \equiv 14 \ (\text{mod} \ 25)
Vậy m=25n+14m = 25n + 14, thay vào xx:

x=21(25n+14)+20=525n+294+20=525n+314x = 21(25n + 14) + 20 = 525n + 294 + 20 = 525n + 314
Số nhỏ nhất khi n=0n = 0 là 314.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 314! 🎉

khó đấy