Cho tam giác ABC vuông a (ab<ác)nội tiếp trong đường tròn tâm ở .dựng đường thẳng d qua a song song bc,đường thẳng d' qua c song song ba,gọi d là giao điểm d và d'.dựng ae vuông góc bd(e nằm trên bđ) , f là giao điểm bđ với đường tròn (o)
.chứng minh
Tứ giác aecd nội tiếp trong đường tròn và aof= 2cae
.chứng minh
Tứ giác aecd nội tiếp trong đường tròn và aof= 2cae
Quảng cáo
1 câu trả lời 405
Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp
Theo giả thiết, ta có:
d đi qua A và d // BC (nên AD // BC)
d' đi qua C và d' // BA (nên CD // AB)
Xét tứ giác ADCB, có AD // BC và CD // AB. Do đó, ADCB là một hình bình hành.
Tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC.
Vì CD // AB và AB ⊥ AC, suy ra CD ⊥ AC. Do đó, góc ACD = 90°.
Theo giả thiết, AE ⊥ BD tại E, suy ra góc AED = 90°.
Xét tứ giác AECD, ta có:
Góc ACD = 90°
Góc AED = 90°
Hai đỉnh C và E cùng nhìn cạnh AD dưới một góc vuông (90°).
Vậy, tứ giác AECD nội tiếp được trong một đường tròn (đường tròn này có đường kính là AD).
b) Chứng minh ∠AOF = 2 * ∠CAE
Xét đường tròn tâm (O):
∠AOF là góc ở tâm chắn cung AF.
∠ABF (hay ∠ABD) là góc nội tiếp chắn cung AF.
Theo tính chất góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung, ta có: ∠AOF = 2 * ∠ABF = 2 * ∠ABD. (1)
Xét tứ giác AECD nội tiếp (đã chứng minh ở câu a):
∠CAE và ∠CDE là hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE.
Do đó: ∠CAE = ∠CDE. (2)
Xét hình bình hành ADCB (chứng minh ở câu a):
Ta có AB // CD.
Đường thẳng BD cắt hai đường thẳng song song AB và CD.
Do đó, ∠ABD = ∠CDB (hai góc so le trong). (∠CDB chính là ∠CDE vì E nằm trên BD).
Suy ra: ∠ABD = ∠CDE. (3)
Từ (2) và (3), ta có: ∠CAE = ∠ABD. (4)
Thay (4) vào (1), ta được: ∠AOF = 2 * ∠CAE.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
250879 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
78747 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
62994 -
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
62355 -
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
53221 -
47242
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
44127 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
41666 -
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
41618
Gửi báo cáo thành công!
