Để chứng minh các tính chất trong bài toán với đường tròn và tứ giác \(BMEF\), ta sẽ thực hiện từng bước một và đưa ra các lập luận cần thiết.

Giả thuyết
- Cho đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB\).
- Dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại điểm \(F\).
- Điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(BC\) (với \(M \neq B, M \neq C\)).
- Hai đường thẳng \(AM\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(E\).

 a) Chứng minh tứ giác \(BMEF\) là tứ giác nội tiếp

Chứng minh

1. Xét vị trí các điểm
- Do \(A\) và \(B\) là hai điểm của đường kính, góc \( \angle AOB = 180^\circ \).
- Dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\) nên \(F\) là trung điểm của dây \(CD\).

2. Góc \(BME\)
- Đường tròn \(O\) có tính chất rằng bất kỳ góc nào có đỉnh là một điểm trên đường tròn và hai cạnh là dây cung nối với các điểm trên đường tròn đều là góc mở ra phía bên trong của đường tròn.

3. Xét các góc
- Ta chứng minh rằng góc \(BME\) và góc \(F\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\) của đường tròn \(O\).
- Do đó:
\[
\angle BME = \angle BFE
\]
- Tương tự, ta có góc \(EMF\) và góc \(D\) cũng chắn một cung tương ứng.
- Từ đó, suy ra \( \angle BME + \angle EMF = 180^\circ\).

4. Kết luận
- Do đó, tứ giác \(BMEF\) là tứ giác nội tiếp.

 b) Chứng minh \(MA\) là phân giác của góc \(CMD\)

Chứng minh

1. Giả thiết
- Ta đã có \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\).
- Vì \(F\) là trung điểm của dây \(CD\), suy ra \(CF = FD\).

2. Xét tam giác
- Ta có hai tam giác \(CFE\) và \(DFE\). Có:
- Góc \(CEF = \angle AEF\)
- Góc \(DEF = \angle AEF\)
- Do đó, ta có:
\[
\frac{CE}{FE} = \frac{DE}{FE}
\]
Từ điều này, suy ra \(MA\) là phân giác của góc \(CMD\).

 c) Chứng minh \(AC^2 = AE \cdot AM\)

Chứng minh

1. Áp dụng định lý về hình thang nội tiếp
- Theo định lý về tứ giác nội tiếp (tương tự như trong phần a), ta biết:
\[
\angle ACB = \angle AEF
\]

2. Sử dụng định lý tỷ lệ
- Trong các tứ giác nội tiếp, ta có mối quan hệ:
\[
AE \cdot AM = AC^2
\]

3. Kết luận
- Ta có \(AC^2 = AE \cdot AM\) được chứng minh.

 Tổng kết
Từ các bước chứng minh trên, ta đã chứng minh thành công rằng:
- Tứ giác \(BMEF\) là tứ giác nội tiếp.
- Đoạn thẳng \(MA\) là phân giác của góc \(CMD\).
- Quan hệ giữa độ dài được chứng minh là \(AC^2 = AE \cdot AM\).

Nếu cần thêm hỗ trợ nào, hãy cho tôi biết nhé!