Để tìm các số tự nhiên \( N \) để các phân số sau tối giản, ta sẽ phân tích divisor (ước chung) cho từng trường hợp.

 1. Phân số \( \frac{3}{2n + 3} \)

Gọi \( d \) là ước chung lớn nhất của \( 3 \) và \( 2n + 3 \).

- \( d \) là ước của \( 3 \) nên \( d \) có thể là \( 1 \) hoặc \( 3 \).
- \( d \) cũng phải là ước của \( 2n + 3 \).

- Trường hợp 1: \( d = 1 \) - khi \( 2n + 3 \) không chia hết cho 3.
- Suy ra: \( 2n + 3 \neq 3k \) với \( k = 0, 1, 2, \ldots \).

- Trường hợp 2: \( d = 3 \) - khi \( 2n + 3 \) chia hết cho 3.
- Suy ra: \( 2n + 3 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 2n \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow n \equiv 0 \pmod{3} \).

- Để phân số \( \frac{3}{2n + 3} \) tối giản, \( n \) không được chia hết cho 3.
- Vậy, kết luận \( n \neq 0, 3, 6, \ldots \) (các bội của 3).

2. Phân số \( \frac{4n^2 + 6n + 3}{n + 3} \)

Gọi \( d \) là ƯCLN của \( 4n^2 + 6n + 3 \) và \( n + 3 \).

- Đầu tiên, ta dùng phép chia hai đa thức này. Ta lấy \( 4n^2 + 6n + 3 \) chia cho \( n + 3 \):
- Chia \( 4n^2 \) cho \( n \) ra \( 4n \), nhân và trừ ra \( (4n)(n + 3) = 4n^2 + 12n \).
- Từ đó: \( (4n^2 + 6n + 3) - (4n^2 + 12n) = -6n + 3 \).

- Ta sẽ chia \( -6n + 3 \) cho \( n + 3 \):
- Chia \( -6n \) cho \( n \) ra \( -6 \), nhân và trừ ra \( (-6)(n + 3) = -6n - 18 \).
- Kết quả: \( (-6n + 3) - (-6n - 18) = 21 \).

- Vậy \( \frac{4n^2 + 6n + 3}{n + 3} = 4n - 6 + \frac{21}{n + 3} \).
- Để phân số tối giản thì \( n + 3 \) không được chia hết cho 21.
- Suy ra: \( n + 3 \neq 0, 21, 42, \ldots \).

 3. Phân số \( \frac{18n + 3}{21n + 7} \)

Gọi \( d \) là ƯCLN của \( 18n + 3 \) và \( 21n + 7 \).

- \( d \) có thể là \( 3 \) hoặc \( 1 \).
-

- Trường hợp 1: \( d = 1 \):
- Suy ra: \( 18n + 3 \neq 3k \) cho bất kỳ \( k \).

- Trường hợp 2: \( d = 3 \):
- Suy ra: \( 18n + 3 \equiv 0 \pmod{3} \) và \( 21n + 7 \equiv 0 \pmod{3}\).

- Kiểm tra:
- \( 18n + 3 \equiv 0 \) luôn đúng.
- \( 21n + 7 \equiv 7 \equiv 1 \pmod{3} \), \( k \) tương ứng với điều kiện này là không thể xảy ra.

- Kết luận phần này \( n \) có thể tùy ý tự nhiên.

 4. Phân số \( \frac{8n + 193}{4n + 3} \)

Gọi \( d \) là ƯCLN của \( 8n + 193 \) và \( 4n + 3 \).

- Xét thành phần:
- Để phân số tối giản, điều kiện cần có: \( 8n + 193 = 4k + 3k \).
- Suy ra điều kiện tương ứng cho phép chia của phần trên cho phần dưới.

Kết luận

Tóm lại, để phân số tối giản:

1. Với \( \frac{3}{2n + 3} \): \( n \neq 0, 3, 6, \ldots \) (các bội của 3).
2. Với \( \frac{4n^2 + 6n + 3}{n + 3} \): \( n + 3 \neq 0, 21, 42, \ldots \).
3. Với \( \frac{18n + 3}{21n + 7} \): \( n \) tự nhiên.
4. Với \( \frac{8n + 193}{4n + 3} \): kiểm tra theo hai đa thức để có điều kiện cần thiết cho sự tối giản.