Để tìm các số tự nhiên $N$ để các phân số sau tối giản, ta sẽ phân tích divisor (ước chung) cho từng trường hợp.

 1. Phân số $\frac{3}{2n + 3}$

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $3$ và $2n + 3$.

- $d$ là ước của $3$ nên $d$ có thể là $1$ hoặc $3$.
- $d$ cũng phải là ước của $2n + 3$.

- Trường hợp 1: $d = 1$ - khi $2n + 3$ không chia hết cho 3.
- Suy ra: $2n + 3 \neq 3k$ với $k = 0, 1, 2, \ldots$.

- Trường hợp 2: $d = 3$ - khi $2n + 3$ chia hết cho 3.
- Suy ra: $2n + 3 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 2n \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow n \equiv 0 \pmod{3}$.

- Để phân số $\frac{3}{2n + 3}$ tối giản, $n$ không được chia hết cho 3.
- Vậy, kết luận $n \neq 0, 3, 6, \ldots$ (các bội của 3).

2. Phân số $\frac{4n^2 + 6n + 3}{n + 3}$

Gọi $d$ là ƯCLN của $4n^2 + 6n + 3$ và $n + 3$.

- Đầu tiên, ta dùng phép chia hai đa thức này. Ta lấy $4n^2 + 6n + 3$ chia cho $n + 3$:
- Chia $4n^2$ cho $n$ ra $4n$, nhân và trừ ra $(4n)(n + 3) = 4n^2 + 12n$.
- Từ đó: $(4n^2 + 6n + 3) - (4n^2 + 12n) = -6n + 3$.

- Ta sẽ chia $-6n + 3$ cho $n + 3$:
- Chia $-6n$ cho $n$ ra $-6$, nhân và trừ ra $(-6)(n + 3) = -6n - 18$.
- Kết quả: $(-6n + 3) - (-6n - 18) = 21$.

- Vậy $\frac{4n^2 + 6n + 3}{n + 3} = 4n - 6 + \frac{21}{n + 3}$.
- Để phân số tối giản thì $n + 3$ không được chia hết cho 21.
- Suy ra: $n + 3 \neq 0, 21, 42, \ldots$.

 3. Phân số $\frac{18n + 3}{21n + 7}$

Gọi $d$ là ƯCLN của $18n + 3$ và $21n + 7$.

- $d$ có thể là $3$ hoặc $1$.
-

- Trường hợp 1: $d = 1$:
- Suy ra: $18n + 3 \neq 3k$ cho bất kỳ $k$.

- Trường hợp 2: $d = 3$:
- Suy ra: $18n + 3 \equiv 0 \pmod{3}$ và $21n + 7 \equiv 0 \pmod{3}$.

- Kiểm tra:
- $18n + 3 \equiv 0$ luôn đúng.
- $21n + 7 \equiv 7 \equiv 1 \pmod{3}$, $k$ tương ứng với điều kiện này là không thể xảy ra.

- Kết luận phần này $n$ có thể tùy ý tự nhiên.

 4. Phân số $\frac{8n + 193}{4n + 3}$

Gọi $d$ là ƯCLN của $8n + 193$ và $4n + 3$.

- Xét thành phần:
- Để phân số tối giản, điều kiện cần có: $8n + 193 = 4k + 3k$.
- Suy ra điều kiện tương ứng cho phép chia của phần trên cho phần dưới.

Kết luận

Tóm lại, để phân số tối giản:

1. Với $\frac{3}{2n + 3}$: $n \neq 0, 3, 6, \ldots$ (các bội của 3).
2. Với $\frac{4n^2 + 6n + 3}{n + 3}$: $n + 3 \neq 0, 21, 42, \ldots$.
3. Với $\frac{18n + 3}{21n + 7}$: $n$ tự nhiên.
4. Với $\frac{8n + 193}{4n + 3}$: kiểm tra theo hai đa thức để có điều kiện cần thiết cho sự tối giản.