Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác.

Gọi diện tích của tam giác ABC là \( S \).

Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times h
\]
Trong đó, \( BC \) là chiều dài cạnh đáy và \( h \) là chiều cao từ đỉnh A đến cạnh BC.

Khi kéo dài cạnh \( BC \) thêm đoạn \( CD = \frac{1}{2} BC \), chiều dài mới của \( BC \) sẽ là:
\[
BC + CD = BC + \frac{1}{2} BC = \frac{3}{2} BC
\]

Chiều cao \( h \) từ đỉnh A đến cạnh mới \( B'C' \) (là điểm kéo dài) vẫn giữ nguyên. Diện tích của tam giác mới \( ABDC \) được tính như sau:
\[
S' = \frac{1}{2} \times B'C' \times h = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} BC \times h = \frac{3}{4} BC \times h
\]

 Sự gia tăng diện tích:
Diện tích tăng thêm là:
\[
S' - S = 20 \text{ dm}^2
\]
Do đó,
\[
\frac{3}{4} BC \cdot h - \frac{1}{2} BC \cdot h = 20
\]

 Giải phương trình trên:
\[
\left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) BC \cdot h = 20
\]
Ta có:
\[
\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{4} BC \cdot h = 20
\]

Giải ra ta có:
\[
BC \cdot h = 80
\]

 Diện tích ban đầu:
Suy ra diện tích của tam giác ABC là:
\[
S = \frac{1}{2} BC \cdot h = \frac{1}{2} \times 80 = 40 \text{ dm}^2
\]

Vậy, diện tích của tam giác ABC là 40 dm².