Tuyệt vời! Hãy cùng giải bài toán hình học này nhé!

a) Chứng minh BNMC là tứ giác nội tiếp:

Xét góc BNC:

CN là đường cao của tam giác ABC.
Suy ra góc BNC = 90°.
Xét góc BMC:

BM là đường cao của tam giác ABC.
Suy ra góc BMC = 90°.
Xét tứ giác BNMC:

Góc BNC = góc BMC = 90°.
Hai góc này cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°.
Vậy tứ giác BNMC nội tiếp được đường tròn (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau).
b) Chứng minh DN.DM = DB.DC:

Xét tam giác DNB và tam giác DMC:

Góc D chung.
Góc DNB = góc DMC (cùng bù với góc BNC = góc BMC).
Vậy tam giác DNB đồng dạng với tam giác DMC (g.g).
Từ sự đồng dạng, suy ra tỉ lệ cạnh:

DN / DC = DB / DM
Suy ra DN.DM = DB.DC.
c) Chứng minh AK.EM = AM.BH:

Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AHB:

Góc A chung.
Góc AEM = góc ABH (cùng phụ với góc BAC).
Vậy tam giác AME đồng dạng với tam giác AHB (g.g).
Từ sự đồng dạng, suy ra tỉ lệ cạnh:

AE / AB = AM / AH
Suy ra AE.AH = AB.AM
Chứng minh AE.AK = AB.AC:

Xét tam giác ABE và tam giác ACK:Góc A chung.
Góc AEB = góc ACK = 90°.
Vậy tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACK (g.g).
Suy ra AE / AC = AB / AK.
Suy ra AE.AK = AB.AC.
Từ AE.AH = AB.AM và AE.AK = AB.AC, suy ra:

AE.AH / AE.AK = AB.AM / AB.AC
AH / AK = AM / AC
AH.AC = AK.AM
Chứng minh BH = CE:

Xét tứ giác BHCE:Góc BHC = góc BEC = 90°.
Vậy tứ giác BHCE nội tiếp.
Suy ra góc HBE = góc HCE.
Xét tam giác HBE và tam giác HCE:Góc HBE = góc HCE.
Góc BHE = góc CHE.
Vậy tam giác HBE đồng dạng với tam giác HCE (g.g).
Suy ra BH / CE = HE / HE = 1.
Suy ra BH = CE.
Chứng minh AK.EM = AM.BH:

Xét tam giác AME và tam giác AHB:Góc A chung.
Góc AEM = góc ABH (cùng phụ với góc BAC).
Vậy tam giác AME đồng dạng với tam giác AHB (g.g).
Suy ra AE / AB = AM / AH.
Suy ra AE.AH = AB.AM.
Mà AH.AC = AK.AM.
Suy ra AE.AC = AK.AM.
Mà CE = BH.
Suy ra AK.EM = AM.BH.