Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để so sánh \( A \) với \( \frac{1}{2} \), trước tiên, ta sẽ tính giá trị của \( A \):

\[
A = \sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} + \frac{2}{99^2}
\]

Trong đó, \( \sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} \) là tổng các số hạng từ \( \frac{1}{3^2} \) đến \( \frac{1}{100^2} \), cộng thêm \( \frac{2}{99^2} \).

Ta biết rằng tổng của các số hạng \( \frac{1}{n^2} \) từ 1 đến vô cực là:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493
\]

Do đó, tổng từ 1 đến 2 là:

\[
\sum_{n=1}^{2} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4}= 1.25
\]

Từ đó, ta có thể tính tổng \( \sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} \):

\[
\sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{2} \frac{1}{n^2}
\]

Tổng của \( \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2} \) có thể được ước lượng bằng cách sử dụng công thức xấp xỉ:

\[
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} \approx \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{N} \quad \text{(gần đúng)}
\]

Với \( N = 100 \):

\[
\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2} \approx \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{100} \approx 1.64493 - 0.01 = 1.63493
\]

Vì vậy,

\[
\sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} \approx 1.63493 - 1.25 = 0.38493
\]

Và:

\[
A \approx 0.38493 + \frac{2}{99^2}
\]

Calculating \( \frac{2}{99^2} \):

\[
99^2 = 9801 \implies \frac{2}{99^2} = \frac{2}{9801} \approx 0.000204
\]

Bây giờ ta tính \( A \):

\[
A \approx 0.38493 + 0.000204 \approx 0.385134
\]

Cuối cùng, ta so sánh:

\[
A \approx 0.385134 < \frac{1}{2} = 0.5
\]

Vậy, đáp án là:

\[
A < \frac{1}{2}
\]

...Xem thêm

Answer 2