Để tính \( B - A \), ta cần xác định giá trị của \( A \) và \( B \) từ công thức đã cho.

### Bước 1: Xác định \( A \)

Biểu thức \( A \) là một tổng số hạng theo cấp số nhân:

\[
A = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^3 + \dots + \left( \frac{3}{2} \right)^{2012}
\]

Đây là một cấp số nhân có:
- Số hạng đầu \( a_1 = \frac{1}{2} \),
- Công bội \( q = \frac{3}{2} \),
- Số hạng cuối \( a_{2012} = \left( \frac{3}{2} \right)^{2012} \).

Công thức tổng quát của tổng các số hạng trong cấp số nhân là:

\[
S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{với} \, |q| \neq 1
\]

Áp dụng công thức cho \( A \):

\[
A = \frac{1}{2} \times \frac{1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{2013}}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{2013}}{-\frac{1}{2}} = 1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{2013}
\]

### Bước 2: Xác định \( B \)

Biểu thức \( B \) đã cho là:

\[
B = \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^{2013}}{2}
\]

### Bước 3: Tính \( B - A \)

Bây giờ, ta tính \( B - A \):

\[
B - A = \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^{2013}}{2} - \left( 1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{2013} \right)
\]
\[
B - A = \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^{2013}}{2} - 1 + \left( \frac{3}{2} \right)^{2013}
\]
\[
B - A = \left( \frac{3}{2} \right)^{2013} \times \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - 1
\]
\[
B - A = \left( \frac{3}{2} \right)^{2013} \times \frac{3}{2} - 1
\]
\[
B - A = \frac{3}{2} \times \left( \frac{3}{2} \right)^{2013} - 1
\]
\[
B - A = \frac{3}{2} \times \left( \frac{3}{2} \right)^{2013} - 1
\]

Vậy, giá trị của \( B - A \) là:

\[
B - A = \frac{3}{2} \times \left( \frac{3}{2} \right)^{2013} - 1.
\]

Để tính B−AB - AB−A, trước tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của AAA.

Ta có:

A=2+32+(32)2+(32)3+…+(32)2012A = 2 + \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^3 + \ldots + \left(\frac{3}{2}\right)^{2012}A=2+23​+(23​)2+(23​)3+…+(23​)2012

Đây là một tổng của dãy số hình học với:

Số hạng đầu a=2a = 2a=2
Số hạng thứ hai a2=32a_2 = \frac{3}{2}a2​=23​
Tỷ số r=32r = \frac{3}{2}r=23​
Số hạng cuối là (32)2012\left( \frac{3}{2} \right)^{2012}(23​)2012
Chúng ta có tổng nnn hạng của một dãy số hình học là:

Sn=a1−rn1−rS_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}Sn​=a1−r1−rn​

Ở đây, với n=2012n = 2012n=2012 (vì số hạng bắt đầu từ 0 đến 2012 nên có tổng cộng 2013 số hạng):

A=2+(32)1+(32)2+…+(32)2013A = 2 + \left(\frac{3}{2}\right)^1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{3}{2}\right)^{2013}A=2+(23​)1+(23​)2+…+(23​)2013

Chúng ta sẽ tách AAA thành hai phần:

A=2+∑k=02012(32)kA = 2 + \sum_{k=0}^{2012} \left(\frac{3}{2}\right)^kA=2+k=0∑2012​(23​)k

Tổng từ k=0k = 0k=0 đến k=2012k = 2012k=2012 là:

∑k=02012(32)k=1−(32)20131−32=1−(32)2013−12=−2(1−(32)2013)=2((32)2013−1)\sum_{k=0}^{2012} \left(\frac{3}{2}\right)^k = \frac{1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{2013}}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{2013}}{-\frac{1}{2}} = -2\left(1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{2013}\right) = 2\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2013} - 1\right)k=0∑2012​(23​)k=1−23​1−(23​)2013​=−21​1−(23​)2013​=−2(1−(23​)2013)=2((23​)2013−1)

Do đó, tổng AAA trở thành:

A=2+2((32)2013−1)=2+2(32)2013−2=2(32)2013A = 2 + 2\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2013} - 1\right) = 2 + 2\left(\frac{3}{2}\right)^{2013} - 2 = 2\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}A=2+2((23​)2013−1)=2+2(23​)2013−2=2(23​)2013

Tiếp theo, BBB được cho là:

B=(32)2013B = \left(\frac{3}{2}\right)^{2013}B=(23​)2013

Cuối cùng, ta tính B−AB - AB−A:

B−A=(32)2013−2(32)2013=−(32)2013B - A = \left(\frac{3}{2}\right)^{2013} - 2\left(\frac{3}{2}\right)^{2013} = -\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}B−A=(23​)2013−2(23​)2013=−(23​)2013

Vậy kết quả cuối cùng là:

B−A=−(32)2013B - A = -\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}B−A=−(23​)2013