Để so sánh hai biểu thức AAA và BBB, trước hết ta sẽ tính toán từng biểu thức một cách chi tiết.

Tính biểu thức AAA
A=11⋅4+24⋅10+310⋅19+419⋅31A = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 10} + \frac{3}{10 \cdot 19} + \frac{4}{19 \cdot 31}A=1⋅41​+4⋅102​+10⋅193​+19⋅314​

Tính từng phần:

11⋅4=14\frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}1⋅41​=41​
24⋅10=240=120\frac{2}{4 \cdot 10} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}4⋅102​=402​=201​
310⋅19=3190\frac{3}{10 \cdot 19} = \frac{3}{190}10⋅193​=1903​
419⋅31=4589\frac{4}{19 \cdot 31} = \frac{4}{589}19⋅314​=5894​
Giờ cộng các phần lại:

A=14+120+3190+4589A = \frac{1}{4} + \frac{1}{20} + \frac{3}{190} + \frac{4}{589}A=41​+201​+1903​+5894​

Tìm mẫu số chung cho các phân số này.

Mẫu số chung của 4,20,190,5894, 20, 190, 5894,20,190,589 là 4×5×19×31=4×5×19×31=118604 \times 5 \times 19 \times 31 = 4 \times 5 \times 19 \times 31 = 118604×5×19×31=4×5×19×31=11860.

Vậy:

Đối với 14=296511860\frac{1}{4} = \frac{2965}{11860}41​=118602965​
Đối với 120=59311860\frac{1}{20} = \frac{593}{11860}201​=11860593​
Đối với 3190=18611860\frac{3}{190} = \frac{186}{11860}1903​=11860186​
Đối với 4589=8011860\frac{4}{589} = \frac{80}{11860}5894​=1186080​
Giờ cộng lại:

A=2965+593+186+8011860=382411860A = \frac{2965 + 593 + 186 + 80}{11860} = \frac{3824}{11860}A=118602965+593+186+80​=118603824​

Tính biểu thức BBB
B=21⋅5+35⋅11+411⋅19+519⋅29+629⋅41B = \frac{2}{1 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 11} + \frac{4}{11 \cdot 19} + \frac{5}{19 \cdot 29} + \frac{6}{29 \cdot 41}B=1⋅52​+5⋅113​+11⋅194​+19⋅295​+29⋅416​

Tính từng phần:

21⋅5=25\frac{2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}1⋅52​=52​
35⋅11=355\frac{3}{5 \cdot 11} = \frac{3}{55}5⋅113​=553​
411⋅19=4209\frac{4}{11 \cdot 19} = \frac{4}{209}11⋅194​=2094​
519⋅29=5551\frac{5}{19 \cdot 29} = \frac{5}{551}19⋅295​=5515​
629⋅41=61189\frac{6}{29 \cdot 41} = \frac{6}{1189}29⋅416​=11896​
Tìm mẫu số chung cho các phân số này. Mẫu số chung của 5,55,209,551,11895, 55, 209, 551, 11895,55,209,551,1189 là 118911891189.

Vậy:

Đối với 25=4761189\frac{2}{5} = \frac{476}{1189}52​=1189476​
Đối với 355=661189\frac{3}{55} = \frac{66}{1189}553​=118966​
Đối với 4209=241189\frac{4}{209} = \frac{24}{1189}2094​=118924​
Đối với 5551=101189\frac{5}{551} = \frac{10}{1189}5515​=118910​
Đối với 61189=61189\frac{6}{1189} = \frac{6}{1189}11896​=11896​
Giờ cộng lại:

B=476+66+24+10+61189=5821189B = \frac{476 + 66 + 24 + 10 + 6}{1189} = \frac{582}{1189}B=1189476+66+24+10+6​=1189582​

So sánh AAA và BBB
Ta có:

A=382411860,B=5821189A = \frac{3824}{11860}, \quad B = \frac{582}{1189}A=118603824​,B=1189582​

Bây giờ so AAA và BBB:

Ta sẽ làm một phép chia:

A=3824÷382411860÷11860=13.1A = \frac{3824 \div 3824}{11860 \div 11860} = \frac{1}{3.1}A=11860÷118603824÷3824​=3.11​
B=582÷5821189÷582=12.042B = \frac{582 \div 582}{1189 \div 582} = \frac{1}{2.042}B=1189÷582582÷582​=2.0421​

Vì BBB có giá trị lớn hơn, nên ta kết luận:

A<BA < BA<B

Kết luận
Vậy A<BA < BA<B.