Để chứng minh rằng M=75×(42021+42020+…+42+4+1)+25M = 75 \times (4^{2021} + 4^{2020} + \ldots + 4^2 + 4 + 1) + 25M=75×(42021+42020+…+42+4+1)+25 chia hết cho 100, trước tiên ta sẽ tính biểu thức trong dấu ngoặc.

Biểu thức S=42021+42020+…+42+4+1S = 4^{2021} + 4^{2020} + \ldots + 4^2 + 4 + 1S=42021+42020+…+42+4+1 là một cấp số nhân với công bội r=4r = 4r=4.

Số hạng đầu a=1a = 1a=1 và số hạng cuối là 420214^{2021}42021. Số hạng của dãy này là n=2021+1=2022n = 2021 + 1 = 2022n=2021+1=2022 (bởi vì từ 404^040 đến 420214^{2021}42021).

Công thức tính tổng SSS của một cấp số nhân là:
Sn=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}Sn​=r−1a(rn−1)​
Áp dụng vào đây, ta có:
S=1(42022−1)4−1=42022−13S = \frac{1(4^{2022} - 1)}{4 - 1} = \frac{4^{2022} - 1}{3}S=4−11(42022−1)​=342022−1​

Thay vào MMM:
M=75×42022−13+25M = 75 \times \frac{4^{2022} - 1}{3} + 25M=75×342022−1​+25

Để dễ tính toán, nhân tất cả với 3 để không có mẫu:
3M=75(42022−1)+75=75⋅42022−75+75=75⋅420223M = 75(4^{2022} - 1) + 75 = 75 \cdot 4^{2022} - 75 + 75 = 75 \cdot 4^{2022}3M=75(42022−1)+75=75⋅42022−75+75=75⋅42022

Khi chia 3M cho 100, ta dùng phép chia phần riêng:
M=25⋅42022M = 25 \cdot 4^{2022}M=25⋅42022

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra tính chia hết cho 100:
M=25⋅42022M = 25 \cdot 4^{2022}M=25⋅42022
M=25⋅(22)2022=25⋅24044M = 25 \cdot (2^2)^{2022} = 25 \cdot 2^{4044}M=25⋅(22)2022=25⋅24044

Chia ra:
25⋅2404425 \cdot 2^{4044}25⋅24044

Hết sức nhận thấy:

252525 đã có hai 555 trong phân tách thành 100100100
Để MMM chia hết cho 100100100, 240442^{4044}24044 cần ít nhất hai 222.
Rõ ràng, 4044>24044 > 24044>2 vì vậy 240442^{4044}24044 có nhiều hơn 2 222.

Kết luận:
Vì M=25⋅24044M = 25 \cdot 2^{4044}M=25⋅24044 có ít nhất hai 222 và hai 555, nên MMM chia hết cho 100100100.

Ta có thể khẳng định rằng:
M chia heˆˊt cho 100.M \text{ chia hết cho } 100.M chia heˆˊt cho 100.