1. Tìm số tự nhiên nnn lớn nhất để phân số A=2n+1n−3A = \frac{2n + 1}{n - 3}A=n−32n+1​ có giá trị là một số nguyên.
Ta cần phân tích điều kiện để AAA là số nguyên.

Phân số AAA sẽ là số nguyên khi n−3n - 3n−3 là ước của 2n+12n + 12n+1. Tức là, chúng ta cần tìm d=n−3d = n - 3d=n−3 sao cho:

A=2n+1n−3=2(n−3)+7n−3=2+7n−3A = \frac{2n + 1}{n - 3} = \frac{2(n - 3) + 7}{n - 3} = 2 + \frac{7}{n - 3}A=n−32n+1​=n−32(n−3)+7​=2+n−37​

Khi đó, điều kiện 7n−3\frac{7}{n - 3}n−37​ là số nguyên có nghĩa là n−3n - 3n−3 phải chia hết cho 7. Cụ thể:

n−3=7k(k∈Z)n - 3 = 7k \quad (k \in \mathbb{Z})n−3=7k(k∈Z)

Từ đó, ta có:

n=7k+3n = 7k + 3n=7k+3

Để nnn là số tự nhiên, n≥0n \geq 0n≥0, tức là:

7k+3≥0  ⟹  k≥−37  ⟹  k≥07k + 3 \geq 0 \implies k \geq -\frac{3}{7} \implies k \geq 07k+3≥0⟹k≥−73​⟹k≥0

Vậy kkk phải là số nguyên không âm.

Tiếp theo, để tìm nnn lớn nhất, ta cần đảm bảo rằng nnn không nhỏ hơn 3:

n−3=7k  ⟹  n=7k+3n - 3 = 7k \implies n = 7k + 3n−3=7k⟹n=7k+3

Vì vậy, với k=0,1,2,…k = 0, 1, 2, \ldotsk=0,1,2,…, ta có các giá trị cho nnn:

Nếu k=0k = 0k=0, n=3n = 3n=3
Nếu k=1k = 1k=1, n=10n = 10n=10
Nếu k=2k = 2k=2, n=17n = 17n=17
Nếu k=3k = 3k=3, n=24n = 24n=24
Nếu k=4k = 4k=4, n=31n = 31n=31
Tiếp tục như vậy...
Ta có thể xác định rằng không có giới hạn trên cho kkk và nnn cần lớn hơn 3. Do đó, không có số tự nhiên lớn nhất cụ thể cho nnn nếu không có giới hạn cụ thể nào.

2. Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 192 và UCLN = 24.
Giả sử hai số tự nhiên đó là xxx và yyy.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện sau:

x+y=192x + y = 192x+y=192
UCLN(x,y)=24\text{UCLN}(x, y) = 24UCLN(x,y)=24

Do đó, ta có thể biểu diễn xxx và yyy dưới dạng:

x=24ax = 24ax=24a
y=24by = 24by=24b

Trong đó, aaa và bbb là hai số tự nhiên sao cho UCLN(a,b)=1\text{UCLN}(a, b) = 1UCLN(a,b)=1.

Thay vào tổng, ta có:

24a+24b=19224a + 24b = 19224a+24b=192

Chia cả hai vế cho 242424:

a+b=8a + b = 8a+b=8

Bây giờ, chúng ta cần tìm các cặp (a,b)(a, b)(a,b) sao cho UCLN(a,b)=1\text{UCLN}(a, b) = 1UCLN(a,b)=1 và a+b=8a + b = 8a+b=8.

Các đôi số tự nhiên (a,b)(a, b)(a,b) thoả mãn a+b=8a + b = 8a+b=8 là:

(1,7)(1, 7)(1,7) → UCLN = 1
(2,6)(2, 6)(2,6) → UCLN = 2 (không chọn)
(3,5)(3, 5)(3,5) → UCLN = 1
(4,4)(4, 4)(4,4) → UCLN = 4 (không chọn)
Như vậy, các cặp (a,b)(a, b)(a,b) hợp lệ là:

(1,7)(1, 7)(1,7)
(7,1)(7, 1)(7,1)
(3,5)(3, 5)(3,5)
(5,3)(5, 3)(5,3)
Từ đó, ta có thể tính ra các đôi (x,y)(x, y)(x,y):

Với (1,7)(1, 7)(1,7):
x=24×1=24,y=24×7=168x = 24 \times 1 = 24, \quad y = 24 \times 7 = 168x=24×1=24,y=24×7=168
Với (3,5)(3, 5)(3,5):
x=24×3=72,y=24×5=120x = 24 \times 3 = 72, \quad y = 24 \times 5 = 120x=24×3=72,y=24×5=120
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là:

(24,168)(24, 168)(24,168)
(72,120)(72, 120)(72,120)
Do đó, đáp án là:

Hai số là 242424 và 168168168 hoặc 727272 và 120120120.