A, Chứng minh SH vuông góc với AB

Phân tích: Chúng ta cần chứng minh SH vuông góc với AB. Để làm được điều này, chúng ta sẽ chứng minh H nằm trên đường tròn (O). Khi đó, SH sẽ là đường cao của tam giác SAB, và do đó vuông góc với AB.
Chứng minh H nằm trên (O):

Xét tứ giác AMNB nội tiếp (O) (vì M, N nằm trên (O)).
Ta có: ∠AMB=90∘\angle AMB = 90^\circ∠AMB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ∠ANB=90∘\angle ANB = 90^\circ∠ANB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác AHBS, ta có: ∠AHB+∠ASB=180∘\angle AHB + \angle ASB = 180^\circ∠AHB+∠ASB=180∘.
Do đó, tứ giác AHBS nội tiếp được một đường tròn.
Mặt khác, vì AB là đường kính của (O), nên AB cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBS.
Vậy, H nằm trên đường tròn (O).
Kết luận:

Vì H nằm trên đường tròn (O) và AB là đường kính của (O), nên ∠AHB=90∘\angle AHB = 90^\circ∠AHB=90∘.
Vậy, SH vuông góc với AB.
B, Chứng minh HM.HB = HN.HA

Phân tích: Chúng ta cần chứng minh tích của các đoạn thẳng. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng tính chất của các dây cung trong đường tròn.
Chứng minh:

Xét đường tròn (O):
Ta có: ∠ANB=∠AMB=90∘\angle ANB = \angle AMB = 90^\circ∠ANB=∠AMB=90∘ (chứng minh ở phần A)
Xét tam giác AHB và tam giác NHM, ta có:∠HAB=∠HNM\angle HAB = \angle HNM∠HAB=∠HNM (cùng chắn cung BN của đường tròn)
∠HBA=∠HMA\angle HBA = \angle HMA∠HBA=∠HMA (cùng chắn cung AM của đường tròn)
∠AHB=∠MHA=90∘\angle AHB = \angle MHA = 90^\circ∠AHB=∠MHA=90∘
Do đó, tam giác AHB đồng dạng với tam giác NHM (g-g)
Từ sự đồng dạng, ta có: HMHA=HNHB\frac{HM}{HA} = \frac{HN}{HB}HAHM​=HBHN​
Nhân chéo, ta được: HM.HB=HN.HAHM.HB = HN.HAHM.HB=HN.HA
Kết luận:

Vậy, ta đã chứng minh được:A, SH vuông góc với AB.
B, HM.HB = HN.HA.

A, Chứng minh SH vuông góc với AB

Phân tích: Chúng ta cần chứng minh SH vuông góc với AB. Để làm được điều này, chúng ta sẽ chứng minh H nằm trên đường tròn (O). Khi đó, SH sẽ là đường cao của tam giác SAB, và do đó vuông góc với AB.
Chứng minh H nằm trên (O):

Xét tứ giác AMNB nội tiếp (O) (vì M, N nằm trên (O)).
Ta có: ∠AMB=90∘\angle AMB = 90^\circ∠AMB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ∠ANB=90∘\angle ANB = 90^\circ∠ANB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác AHBS, ta có: ∠AHB+∠ASB=180∘\angle AHB + \angle ASB = 180^\circ∠AHB+∠ASB=180∘.
Do đó, tứ giác AHBS nội tiếp được một đường tròn.
Mặt khác, vì AB là đường kính của (O), nên AB cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBS.
Vậy, H nằm trên đường tròn (O).
Kết luận:

Vì H nằm trên đường tròn (O) và AB là đường kính của (O), nên ∠AHB=90∘\angle AHB = 90^\circ∠AHB=90∘.
Vậy, SH vuông góc với AB.
B, Chứng minh HM.HB = HN.HA

Phân tích: Chúng ta cần chứng minh tích của các đoạn thẳng. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng tính chất của các dây cung trong đường tròn.
Chứng minh:

Xét đường tròn (O):
Ta có: ∠ANB=∠AMB=90∘\angle ANB = \angle AMB = 90^\circ∠ANB=∠AMB=90∘ (chứng minh ở phần A)
Xét tam giác AHB và tam giác NHM, ta có:∠HAB=∠HNM\angle HAB = \angle HNM∠HAB=∠HNM (cùng chắn cung BN của đường tròn)
∠HBA=∠HMA\angle HBA = \angle HMA∠HBA=∠HMA (cùng chắn cung AM của đường tròn)
∠AHB=∠MHA=90∘\angle AHB = \angle MHA = 90^\circ∠AHB=∠MHA=90∘
Do đó, tam giác AHB đồng dạng với tam giác NHM (g-g)
Từ sự đồng dạng, ta có: HMHA=HNHB\frac{HM}{HA} = \frac{HN}{HB}HAHM​=HBHN​
Nhân chéo, ta được: HM.HB=HN.HAHM.HB = HN.HAHM.HB=HN.HA
Kết luận:

Vậy, ta đã chứng minh được:A, SH vuông góc với AB.
B, HM.HB = HN.HA.