Ta có phương trình 2024x+624=5y2024^x + 624 = 5^y2024x+624=5y. Chúng ta sẽ tìm các giá trị nguyên của x và y thỏa mãn phương trình này.

Nhận xét rằng nếu x<0x < 0x<0, thì 2024x2024^x2024x là một số nhỏ hơn 1. Khi đó, 2024x+6242024^x + 6242024x+624 sẽ không phải là một số nguyên, trong khi 5y5^y5y phải là một số nguyên (vì y nguyên). Do đó, xxx phải là một số không âm.

Xét x=0x = 0x=0:

20240+624=1+624=625=542024^0 + 624 = 1 + 624 = 625 = 5^420240+624=1+624=625=54

Vậy, 5y=545^y = 5^45y=54, suy ra y=4y = 4y=4.

Vậy (x,y)=(0,4)(x, y) = (0, 4)(x,y)=(0,4) là một nghiệm.
Xét x=1x = 1x=1:

20241+624=2024+624=26482024^1 + 624 = 2024 + 624 = 264820241+624=2024+624=2648

Ta cần kiểm tra xem 2648 có phải là lũy thừa của 5 hay không. Ta thấy 55=3125>26485^5 = 3125 > 264855=3125>2648 và 54=625<26485^4 = 625 < 264854=625<2648. Do đó, 2648 không phải là lũy thừa của 5.
Xét x≥2x \ge 2x≥2:

Khi x≥2x \ge 2x≥2, 2024x2024^x2024x sẽ tăng rất nhanh. Ta có thể thấy rằng 20242+624=4096576+624=40972002024^2 + 624 = 4096576 + 624 = 409720020242+624=4096576+624=4097200, đây là một số rất lớn. Khi đó, 5y5^y5y cũng phải rất lớn.

Ta có thể xem xét phương trình theo modulo.

Xét modulo 5:

2024x+624≡5y(mod5)2024^x + 624 \equiv 5^y \pmod{5}2024x+624≡5y(mod5)

2024≡4≡−1(mod5)2024 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}2024≡4≡−1(mod5)

624≡4≡−1(mod5)624 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}624≡4≡−1(mod5)

5y≡0(mod5)5^y \equiv 0 \pmod{5}5y≡0(mod5) (nếu y>0y > 0y>0)

Do đó, (−1)x+(−1)≡0(mod5)(-1)^x + (-1) \equiv 0 \pmod{5}(−1)x+(−1)≡0(mod5)

(−1)x≡1(mod5)(-1)^x \equiv 1 \pmod{5}(−1)x≡1(mod5)

Điều này xảy ra khi xxx là số chẵn. Đặt x=2kx = 2kx=2k với kkk là số nguyên dương.

Tuy nhiên, việc phân tích sâu hơn trở nên phức tạp.
Kết luận:

Nghiệm duy nhất dễ thấy là (x,y)=(0,4)(x, y) = (0, 4)(x,y)=(0,4). Việc chứng minh rằng không có nghiệm nào khác đòi hỏi các kỹ thuật phức tạp hơn, và có thể cần sử dụng kiến thức về số học hoặc phân tích số.

Lưu ý quan trọng:

Việc tìm ra tất cả các nghiệm nguyên của một phương trình Diophantine (phương trình nghiệm nguyên) thường là một bài toán khó. Phân tích modulo, chặn khoảng giá trị của nghiệm và sử dụng các tính chất của số học là những kỹ thuật thường được sử dụng.