Để giải bài toán với phân số \( A = \frac{6n - 1}{3n + 2} \), chúng ta sẽ thực hiện hai bước:

### a) Tìm \( n \in \mathbb{Z} \) để \( A \) có giá trị nguyên.

Phân số \( A \) sẽ có giá trị nguyên khi \( 3n + 2 \) là ước của \( 6n - 1 \). Điều này có nghĩa là \( 6n - 1 \) phải chia hết cho \( 3n + 2 \).

Ta có:

\[
A = \frac{6n - 1}{3n + 2}
\]

Điều kiện để phân số này là nguyên là:

\[
6n - 1 = k(3n + 2) \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải phương trình trên:

\[
6n - 1 = 3kn + 2k
\]
\[
6n - 3kn = 2k + 1
\]
\[
n(6 - 3k) = 2k + 1
\]
\[
n = \frac{2k + 1}{6 - 3k}
\]

Để \( n \) là số nguyên, \( 2k + 1 \) phải chia hết cho \( 6 - 3k \).

Ta kiểm tra một số giá trị của \( k \):

- Nếu \( k = 0 \):
\[
n = \frac{2(0) + 1}{6 - 3(0)} = \frac{1}{6} \quad \text{( không nguyên)}
\]

- Nếu \( k = 1 \):
\[
n = \frac{2(1) + 1}{6 - 3(1)} = \frac{3}{3} = 1 \quad \text{(nguyên)}
\]

- Nếu \( k = 2 \):
\[
n = \frac{2(2) + 1}{6 - 3(2)} = \frac{5}{0} \quad \text{(không xác định)}
\]

- Nếu \( k = -1 \):
\[
n = \frac{2(-1) + 1}{6 - 3(-1)} = \frac{-1}{9} \quad \text{( không nguyên)}
\]

- Nếu \( k = -2 \):
\[
n = \frac{2(-2) + 1}{6 - 3(-2)} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} \quad \text{( không nguyên)}
\]

Sau khi thử các giá trị của \( k \), ta nhận thấy \( k = 1 \) là giá trị duy nhất cho phép \( n \) nguyên.

### b) Tìm \( n \in \mathbb{Z} \) để \( A \) có giá trị nhỏ nhất.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần xem xét \( A \) và phương trình:

\[
A = \frac{6n - 1}{3n + 2}
\]

Ta sẽ tính giá trị của \( A \) cho một số giá trị nguyên của \( n \):

- Nếu \( n = 0 \):
\[
A = \frac{6(0) - 1}{3(0) + 2} = \frac{-1}{2} = -0.5
\]

- Nếu \( n = 1 \):
\[
A = \frac{6(1) - 1}{3(1) + 2} = \frac{6 - 1}{3 + 2} = \frac{5}{5} = 1
\]

- Nếu \( n = -1 \):
\[
A = \frac{6(-1) - 1}{3(-1) + 2} = \frac{-6 - 1}{-3 + 2} = \frac{-7}{-1} = 7
\]

- Nếu \( n = -2 \):
\[
A = \frac{6(-2) - 1}{3(-2) + 2} = \frac{-12 - 1}{-6 + 2} = \frac{-13}{-4} = 3.25
\]

Từ các giá trị này, ta thấy \( n = 0 \) cho \( A \) có giá trị nhỏ nhất là \( -0.5 \).

### Kết luận:
a) \( n = 1 \) cho \( A \) nguyên.
b) \( n = 0 \) cho giá trị \( A \) nhỏ nhất là \( -0.5 \).