Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để phân số 3n2+2n+32n+1\frac{3n^2 + 2n + 3}{2n + 1}2n+13n2+2n+3 là tối giản, tử số và mẫu số phải không có ước chung lớn hơn 1, tức là ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng phải bằng 1.

Ta cần tính ƯCLN của 3n2+2n+33n^2 + 2n + 33n2+2n+3 và 2n+12n + 12n+1. Để làm được điều này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid.

Tính phần dư của phép chia 3n2+2n+33n^2 + 2n + 33n2+2n+3 cho 2n+12n + 12n+1:

Chia 3n2+2n+33n^2 + 2n + 33n2+2n+3 cho 2n+12n + 12n+1:

Giai pháp chi tiết:

Ta có thể viết 3n2+2n+3=(1.5)(2n+1)+ phaˆˋn dư3n^2 + 2n + 3 = (1.5)(2n + 1) + \text{ phần dư}3n2+2n+3=(1.5)(2n+1)+ phaˆˋn dư
Cụ thể, 1.5(2n+1)=3n+1.51.5(2n + 1) = 3n + 1.51.5(2n+1)=3n+1.5
So sánh với tử số:
3n2+2n+3−(3n+1.5)=3n2−3n+1.53n^2 + 2n + 3 - (3n + 1.5) = 3n^2 - 3n + 1.53n2+2n+3−(3n+1.5)=3n2−3n+1.5
Ta có:
phaˆˋn dư=3n2−3n+1.5\text{phần dư} = 3n^2 - 3n + 1.5phaˆˋn dư=3n2−3n+1.5

Bây giờ ta cần chia 2n+12n + 12n+1 cho phần dư này.
Tiếp tục thực hiện phép chia cho đến khi có phần dư bằng 0.
Thay vào đó, để đơn giản hóa, ta có thể giải điều kiện rằng ƯCLN của 2 đa thức này phải bằng 1, tức là các nghiệm của 2 đa thức phải không trùng nhau.

Phương trình 2n+1=02n + 1 = 02n+1=0 cho:
n=−12n = -\frac{1}{2}n=−21
Vậy nnn không phải là số tự nhiên bất kỳ nào, nên ta kiểm tra 3n2+2n+33n^2 + 2n + 33n2+2n+3 có nghiệm bằng 0 không.
Để kiểm tra điều đó, ta giải phương trình bậc hai:
3n2+2n+3=03n^2 + 2n + 3 = 03n2+2n+3=0
Tính tọa độ delta:
Δ=b2−4ac=22−4⋅3⋅3=4−36=−32\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32Δ=b2−4ac=22−4⋅3⋅3=4−36=−32

Vì delta < 0 nên phương trình bậc hai này không có nghiệm thực, và do đó hàm số không bao giờ bằng 0.
Kết luận:
Như vậy, để phân số 3n2+2n+32n+1\frac{3n^2 + 2n + 3}{2n + 1}2n+13n2+2n+3 là một phân số tối giản, nnn có thể là bất kỳ số tự nhiên nào.
Nhà bác có thể chọn tất cả các số nguyên dương như 0, 1, 2, 3, 4, ... và phân số vẫn sẽ là tối giản.

...Xem thêm

Answer 2