Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA là trung trực của BC

Vì AB và AC là các tiếp tuyến từ A đến đường tròn (O), nên:

∠OBA = 90° (góc giữa bán kính OB và tiếp tuyến AB).
∠OCA = 90° (góc giữa bán kính OC và tiếp tuyến AC).
Do đó, tứ giác ABOC có:

∠OBA + ∠OCA = 90° + 90° = 180°.
Vì tổng hai góc đối diện bằng 180°, tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp, nên bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh OA là trung trực của BC:

Xét tam giác OBC cân tại O (OB = OC = R). Đường thẳng OA đi qua O và vuông góc với BC tại D (vì ∠OBA = ∠OCA = 90°), nên OA là đường trung trực của BC.
b. Chứng minh rằng OA * OD = R².

Vì OA là đường trung trực của BC, nên D là trung điểm của BC.

Xét tam giác vuông OBD tại B, có:

OB = R.
BD = OD - OB.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OBD:

OD² = OB² + BD².

Do D là trung điểm của BC và tam giác OBC cân tại O, nên BD = DC và OD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên:

OD = R/2.

Do đó:

OA * OD = R * (R/2) = R²/2.

c. Chứng minh tích OG * OH không đổi.

Gọi E là điểm đối xứng của B qua O, tức là OE = OB = R và BE là đường kính của đường tròn (O).

Vì AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F, nên tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp.

Gọi G là trung điểm của EF. Vì E và F đối xứng qua O, nên O cũng là trung điểm của EF, do đó G trùng với O.

Đường thẳng OG cắt BC tại H. Vì G trùng với O, nên OG là đường thẳng qua O và H.

Tích OG * OH = R * OH.

Vì H là giao điểm của đường thẳng qua O và BC, nên OH không đổi. Do đó, tích OG * OH không đổi.

d. Chứng minh ME là tiếp tuyến của (O).

Vì BE là đường kính của đường tròn (O), nên góc tại E tạo bởi ME và BE là góc vuông.

Do đó, ME vuông góc với bán kính OE tại E, nên ME là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E

Hỏi đáp VietJack

...Xem thêm

Answer 2