A=31+32+33+...+32012 chứng minh A chia hết cho 120. mong giúp để mình ôn thi học sinh giỏi. Mình cảm ơn
Quảng cáo
2 câu trả lời 113
1. Chứng minh A chia hết cho 3:
Nhóm các số hạng của A thành từng nhóm 3 số hạng:
A = (3^1 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 3^5 + 3^6) + ... + (3^2010 + 3^2011 + 3^2012)
Đặt 3 làm thừa số chung trong mỗi nhóm:
A = 3(1 + 3 + 3^2) + 3^4(1 + 3 + 3^2) + ... + 3^2010(1 + 3 + 3^2)
Ta thấy mỗi nhóm đều có dạng 3k(1 + 3 + 3^2) = 3k x 13 chia hết cho 3.
Do đó A chia hết cho 3.
2. Chứng minh A chia hết cho 8:
Nhóm các số hạng của A thành từng nhóm 4 số hạng:
A = (3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4) + (3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8) + ... + (3^2009 + 3^2010 + 3^2011 + 3^2012)
Đặt 3 làm thừa số chung trong mỗi nhóm, rồi tiếp tục đặt 3^2 làm thừa số chung:
A = 3(1 + 3 + 3^2 + 3^3) + 3^5(1 + 3 + 3^2 + 3^3) + ... + 3^2009(1 + 3 + 3^2 + 3^3) A = 3(1 + 3 + 9 + 27) + 3^5(1 + 3 + 9 + 27) + ... + 3^2009(1 + 3 + 9 + 27) A = 3 x 40 + 3^5 x 40 + ... + 3^2009 x 40 A = 40(3 + 3^5 + ... + 3^2009)
Vì 40 chia hết cho 8 nên A chia hết cho 8.
3. Chứng minh A chia hết cho 5:
Nhận xét: 3^4 = 81 chia 5 dư 1.
Viết lại A theo dạng:
A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + (3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7) + (3^8 + 3^9 + 3^10 + 3^11) + ... + (3^2008 + 3^2009 + 3^2010 + 3^2011) + 3^2012
Mỗi nhóm 4 số hạng liên tiếp từ 3^4 trở đi đều có dạng:
3^(4k) + 3^(4k+1) + 3^(4k+2) + 3^(4k+3) = 3^(4k)(1 + 3 + 3^2 + 3^3) = 3^(4k) x 40 = 3^(4k) x (81 - 1) = 3^(4k) x 81 - 3^(4k) = (3^4)^k x 81 - 3^(4k) Vì 3^4 chia 5 dư 1 nên (3^4)^k cũng chia 5 dư 1. Do đó mỗi nhóm 4 số hạng này đều chia 5 dư 1 - 1 = 0, tức là chia hết cho 5.
Vậy A chia 5 dư 3^1 + 3^2 + 3^3 = 3 + 9 + 27 = 39 chia 5 dư 4.
Để A chia hết cho 5, ta cần thêm vào A một số chia 5 dư 1. Ta thấy 3^2012 = (3^4)^503 = 81^503 chia 5 dư 1.
Do đó, A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2012 chia hết cho 5.
Kết luận:
Vì A chia hết cho 3, 8 và 5, mà 3, 8 và 5 đôi một nguyên tố cùng nhau, nên A chia hết cho 3 x 8 x 5 = 120
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
6262
-
6185