Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là V=250π(cm3), các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V=250π(cm3) và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu centimét?

Thiện Minh Hỏi từ APP VIETJACK

Đã trả lời bởi chuyên gia

· 16:53 05/11/2024

Đã trả lời bởi chuyên gia

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là
V=250π(cm3), các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V=250π(cm3)
và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu centimét?

Trả Lời (+5 điểm)

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 câu trả lời 773

Chinh nè

1 năm trước

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm bán kính đáy của một *** sữa bò hình trụ sao cho:
Thể tích của *** sữa là cố định: V = 250π cm³
Diện tích toàn phần của *** sữa là nhỏ nhất (để tiết kiệm nguyên liệu)
Giải quyết bài toán
1. Công thức:

Thể tích của hình trụ: V = πr²h
Diện tích toàn phần của hình trụ: S = 2πrh + 2πr²
Trong đó:

r: bán kính đáy
h: chiều cao
2. Lập phương trình: Từ công thức thể tích, ta có thể biểu diễn chiều cao h theo r và V: h = V / (πr²) = (250π) / (πr²) = 250/r²

Thay h vào công thức diện tích toàn phần, ta được: S = 2πr * (250/r²) + 2πr² = 500/r + 2πr²

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của S: Để tìm giá trị nhỏ nhất của S, ta có thể sử dụng đạo hàm. Tuy nhiên, để đơn giản hơn, chúng ta có thể nhận thấy rằng S là một hàm số lồi (đồ thị của hàm số là một parabol hướng lên trên). Do đó, giá trị nhỏ nhất của S sẽ đạt được tại đỉnh của parabol.

4. Tìm đỉnh của parabol: Để tìm đỉnh của parabol, ta có thể biến đổi biểu thức S về dạng chuẩn của phương trình parabol: S = 2π(r² + 250/r)

Ta thấy rằng biểu thức trong ngoặc là tổng của một số và nghịch đảo của số đó. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức này đạt được khi hai số hạng bằng nhau, tức là: r² = 250/r ⇔ r³ = 250 ⇔ r ≈ 6.3 cm

Kết luận: Để diện tích toàn phần của *** sữa bò hình trụ có thể tích 250π cm³ là nhỏ nhất thì bán kính đáy của *** sữa nên bằng khoảng 6.3 cm.

Vậy, với bán kính đáy là 6.3 cm, nhà sản xuất sẽ sử dụng ít nguyên liệu nhất để sản xuất vỏ *** sữa.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

♈ㅤूाीू ¯\(▀̿Ĺ̯▀̿ ̿)/¯

1 năm trước

Đáp số: = 5.

1 bình luận

Thiện Minh · 1 năm trước

Có thể đưa ra các bước giải cho em hong ạ🥹

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Ngọc

1 năm trước

Gọi:
- \( r \) là bán kính đáy của hình trụ (cm),
- \( h \) là chiều cao của hình trụ (cm).

1. Thể tích của hình trụ được cho bởi công thức:
\[
V = \pi r^2 h
\]
Vì \( V = 250\pi \), ta có:
\[
\pi r^2 h = 250\pi
\]
\[
r^2 h = 250
\]
Suy ra:
\[
h = \frac{250}{r^2}
\]

2.Diện tích toàn phần của hình trụ
\[
S = 2\pi r^2 + 2\pi r h
\]
Thay \( h = \frac{250}{r^2} \) vào, ta được:
\[
S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{250}{r^2}
\]
\[
S = 2\pi r^2 + \frac{500\pi}{r}
\]

Tìm giá trị \( r \) sao cho \( S \) nhỏ nhất

Để diện tích toàn phần nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị \( r \) sao cho \( S \) đạt cực tiểu. Ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( r \) và cho đạo hàm bằng 0.

1. Tính đạo hàm của \( S \):
\[
S' = 4\pi r - \frac{500\pi}{r^2}
\]

2. Cho \( S' = 0 \):
\[
4\pi r - \frac{500\pi}{r^2} = 0
\]
\[
4r = \frac{500}{r^2}
\]
\[
4r^3 = 500
\]
\[
r^3 = 125
\]
\[
r = \sqrt[3]{125} = 5
\]