Để so sánh diện tích hai tam giác \(ABD\) và \(ABE\), chúng ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

1. **Diện tích tam giác**: Diện tích của một tam giác được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{độ dài cạnh} \times \text{chiều cao}
\]

2. **Tam giác \(ABD\)**:
- Gọi \(S_{ABD}\) là diện tích tam giác \(ABD\).
- Độ dài cạnh \(BD\) bằng một nửa chiều dài cạnh \(BC\) vì \(D\) chia \(BC\) thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Tam giác \(ABE\)**:
- Gọi \(S_{ABE}\) là diện tích tam giác \(ABE\).
- Gọi chiều dài \(AE\) và \(EC\) lần lượt là \(2x\) và \(x\). Do đó, \(AC = AE + EC = 2x + x = 3x\).
- Góc \(A\) là chung cho hai tam giác \(ABD\) và \(ABE\).

4. **So sánh diện tích**:
- Do đó, diện tích của tam giác \(ABD\) là:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_1
\]
với \(h_1\) là chiều cao từ đỉnh \(A\) hạ xuống cạnh \(BD\).

- Diện tích của tam giác \(ABE\) là:
\[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h_2
\]
với \(h_2\) là chiều cao từ đỉnh \(A\) hạ xuống cạnh \(BE\).

5. **Mối quan hệ chiều cao**:
- Cả hai tam giác đều có cùng chiều cao \(h\) từ \(A\) xuống cạnh \(BC\) dựa trên cùng một đỉnh \(A\).

6. **Tính diện tích**:
- Ta có:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}BC \cdot h
\]
và
\[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h
\]

7. **Tính \(AE\)**:
- Từ \(AE = 2 \cdot EC\) và \(EC = \frac{1}{3} AC\) ⇒ \(AE = 2 \cdot \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}AC\).

Khi xét tỷ lệ hai diện tích, chúng ta có thể thấy rằng vì \(BD\) và \(AE\) lấy một phần bằng của \(BC\) và \(AC\) với tỷ lệ khác nhau, và chiều cao từ \(A\) đến các cạnh cũng là một yếu tố quan trọng.

Cuối cùng, qua so sánh, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng:
\[
S_{ABD} < S_{ABE}
\]
Tóm lại, diện tích của tam giác \(ABE\) lớn hơn diện tích của tam giác \(ABD\).