Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng biểu thức \(\frac{17^n (17^n + 1)}{2}\) luôn là số tự nhiên với mọi \(n \in \mathbb{N}\), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích biểu thức

Biểu thức được cho là:

\[
\frac{17^n (17^n + 1)}{2}
\]

Ta có thể nhận thấy rằng \(17^n\) là số tự nhiên (vì \(17\) là số nguyên dương và \(n\) là số tự nhiên), do đó \(17^n + 1\) cũng là số tự nhiên.

Bước 2: Xét tính chẵn lẻ

Bây giờ ta sẽ xét \(17^n\):

- Khi \(n\) là số chẵn:
- \(17^n\) sẽ là số lẻ (bởi vì số lẻ lũy thừa với bất kỳ số nguyên dương nào vẫn là số lẻ).
- Do đó, \(17^n + 1\) sẽ là số chẵn. Khi nhân \(17^n\) với \(17^n + 1\), ta sẽ được tích của một số lẻ và một số chẵn, nên tích này là số chẵn.

- Khi \(n\) là số lẻ:
- \(17^n\) sẽ vẫn là số lẻ.
- Tương tự, \(17^n + 1\) sẽ là số chẵn. Như vậy, tích của \(17^n\) và \(17^n + 1\) vẫn sẽ là số chẵn.

Bước 3: Kết luận

Từ đó, ta thấy rằng cho dù \(n\) là số chẵn hay lẻ, \(17^n (17^n + 1)\) luôn là số chẵn. Khi chia số chẵn này cho 2, kết quả sẽ là một số nguyên (số tự nhiên).

Ví dụ

- Khi \(n = 0\):
\[
\frac{17^0 (17^0 + 1)}{2} = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = 1 \text{ (số tự nhiên)}
\]

- Khi \(n = 1\):
\[
\frac{17^1 (17^1 + 1)}{2} = \frac{17 \cdot (17 + 1)}{2} = \frac{17 \cdot 18}{2} = 153 \text{ (số tự nhiên)}
\]

- Khi \(n = 2\):
\[
\frac{17^2 (17^2 + 1)}{2} = \frac{289 \cdot (289 + 1)}{2} = \frac{289 \cdot 290}{2} = 41935 \text{ (số tự nhiên)}
\]

Kết luận cuối cùng

Do đó, ta có thể khẳng định rằng \(\frac{17^n (17^n + 1)}{2}\) luôn là số tự nhiên với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

...Xem thêm

Answer 2