Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Đặt các điểm và kích thước của tam giác
- Gọi \( A \) là đỉnh vuông của tam giác vuông cân \( ABC \).
- Vì \( AB = AC = 6a \), ta có thể đặt tọa độ của các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(6a, 0) \)
- \( C(0, 6a) \)

### 2. Tính tọa độ trung điểm
- Tọa độ của trung điểm \( F \) của đoạn \( AC \):
\[
F = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 6a}{2} \right) = \left( 0, 3a \right)
\]

- Tọa độ của trung điểm \( E \) của đoạn \( AB \):
\[
E = \left( \frac{6a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( 3a, 0 \right)
\]

### 3. Tính tọa độ giao điểm \( G \) của hai đường trung tuyến \( BF \) và \( CE \)
- Phương trình đường thẳng \( BF \):
- Điểm \( B(6a, 0) \) và \( F(0, 3a) \) cho ta hệ số góc:
\[
m_{BF} = \frac{3a - 0}{0 - 6a} = -\frac{1}{2}
\]
- Phương trình của đường thẳng \( BF \) là:
\[
y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 6a) \implies y = -\frac{1}{2}x + 3a
\]

- Phương trình đường thẳng \( CE \):
- Điểm \( C(0, 6a) \) và \( E(3a, 0) \) cho ta hệ số góc:
\[
m_{CE} = \frac{0 - 6a}{3a - 0} = -2
\]
- Phương trình của đường thẳng \( CE \) là:
\[
y - 6a = -2(x - 0) \implies y = -2x + 6a
\]

### 4. Tìm tọa độ điểm \( G \)
Giải hệ phương trình:

\[
-\frac{1}{2}x + 3a = -2x + 6a
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
-\frac{1}{2}x + 2x = 6a - 3a
\]

\[
\frac{3}{2}x = 3a \implies x = 2a
\]

Thay vào phương trình của \( BF \):

\[
y = -\frac{1}{2}(2a) + 3a = -a + 3a = 2a
\]

Vậy tọa độ điểm \( G \) là \( (2a, 2a) \).

### 5. Tính diện tích tam giác \( GFC \)
- Tọa độ của \( G(2a, 2a) \), \( F(0, 3a) \), và \( C(0, 6a) \).
- Sử dụng công thức diện tích tam giác với ba điểm:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Thay \( G(2a, 2a), F(0, 3a), C(0, 6a) \) vào:

\[
S = \frac{1}{2} \left| 2a(3a - 6a) + 0(6a - 2a) + 0(2a - 3a) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 2a(-3a) \right| = \frac{1}{2} \left| -6a^2 \right| = 3a^2
\]

### Kết luận
Diện tích \( S \) của tam giác \( GFC \) là \( 3a^2 \).