Để tìm giá trị của \( x \) trong dãy số \( 10, 11, 12, 13, \ldots, x \) sao cho tổng của dãy số bằng 5106, ta có thể sử dụng công thức tính tổng của dãy số liên tiếp.

### Bước 1: Xác định số hạng đầu và số hạng cuối
- Số hạng đầu \( a = 10 \)
- Số hạng cuối \( x \)

### Bước 2: Xác định số hạng trong dãy
Số hạng cuối \( x \) là một số nguyên, và số hạng đầu là 10, nên số hạng trong dãy là:
\[
n = x - 10 + 1 = x - 9
\]

### Bước 3: Tính tổng dãy số
Tổng của dãy số từ \( a \) đến \( x \) được tính theo công thức:
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (a + x)
\]
Thay giá trị vào công thức:
\[
S_n = \frac{x - 9}{2} \times (10 + x)
\]

### Bước 4: Thiết lập phương trình
Theo đề bài, tổng này bằng 5106:
\[
\frac{x - 9}{2} \times (10 + x) = 5106
\]
Nhân cả hai bên với 2 để loại bỏ mẫu:
\[
(x - 9)(10 + x) = 10212
\]

### Bước 5: Giải phương trình
Mở rộng biểu thức:
\[
x^2 + 10x - 9x - 90 = 10212
\]
\[
x^2 + x - 90 - 10212 = 0
\]
\[
x^2 + x - 10302 = 0
\]

### Bước 6: Sử dụng công thức nghiệm
Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = -10302 \):
\[
b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-10302) = 1 + 41208 = 41209
\]
\[
\sqrt{41209} = 203
\]
Thay vào công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm 203}{2}
\]

### Bước 7: Tính nghiệm
Lấy nghiệm dương:
\[
x = \frac{202}{2} = 101
\]

### Kết luận
Giá trị của \( x \) để tổng dãy số bằng 5106 là:
\[
\boxed{101}
\]