Để tìm giá trị \( M = x + y \) từ hai phương trình:

1. \( x^3 - 6x^2 + 14x + 2021 = 0 \)
2. \( y^3 - 6y^2 + 14y - 2045 = 0 \)

Chúng ta có thể cộng hai phương trình lại với nhau.

### Bước 1: Cộng hai phương trình

\[
x^3 - 6x^2 + 14x + 2021 + y^3 - 6y^2 + 14y - 2045 = 0
\]

### Bước 2: Nhóm các hạng tử lại

\[
x^3 + y^3 - 6(x^2 + y^2) + 14(x + y) + 2021 - 2045 = 0
\]

### Bước 3: Tính hằng số

\[
2021 - 2045 = -24
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x^3 + y^3 - 6(x^2 + y^2) + 14(x + y) - 24 = 0
\]

### Bước 4: Sử dụng công thức tổng và tích

Sử dụng công thức \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \) và \( x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \):

Gọi \( M = x + y \) và \( P = xy \).

Ta có:

\[
x^3 + y^3 = M(M^2 - 3P)
\]

Và:

\[
x^2 + y^2 = M^2 - 2P
\]

### Bước 5: Thay thế vào phương trình

\[
M(M^2 - 3P) - 6(M^2 - 2P) + 14M - 24 = 0
\]

### Bước 6: Sắp xếp lại

\[
M^3 - 3MP - 6M^2 + 12P + 14M - 24 = 0
\]

### Bước 7: Giải phương trình

Để giải một cách đơn giản hơn, ta có thể thử một vài giá trị cho \( M \) để tìm ra giá trị thỏa mãn.

### Thử với \( M = 6 \)

\[
6^3 - 6(6^2) + 14(6) - 24 = 216 - 216 + 84 - 24 = 60 \quad (\text{sai})
\]

### Thử với \( M = 4 \)

\[
4^3 - 6(4^2) + 14(4) - 24 = 64 - 96 + 56 - 24 = 4 \quad (\text{sai})
\]

### Thử với \( M = 2 \)

\[
2^3 - 6(2^2) + 14(2) - 24 = 8 - 24 + 28 - 24 = -12 \quad (\text{sai})
\]

### Thử với \( M = 0 \)

\[
0^3 - 6(0^2) + 14(0) - 24 = -24 \quad (\text{sai})
\]

### Thử với \( M = 3 \)

\[
3^3 - 6(3^2) + 14(3) - 24 = 27 - 54 + 42 - 24 = -9 \quad (\text{sai})
\]

### Thử với \( M = 5 \)

\[
5^3 - 6(5^2) + 14(5) - 24 = 125 - 150 + 70 - 24 = 21 \quad (\text{sai})
\]

### Thử với \( M = 1 \)

\[
1^3 - 6(1^2) + 14(1) - 24 = 1 - 6 + 14 - 24 = -15 \quad (\text{sai})
\]

Sau khi thử nghiệm, ta có thể rút ra một kết luận rằng không có giá trị đơn giản nào thỏa mãn.

### Kết luận

Giá trị của \( M = x + y \) cần tính thêm hoặc dựa vào phương trình cụ thể để tìm \( x \) và \( y \). Phương pháp khác là sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tìm nghiệm của các phương trình.

Để có kết quả chính xác hơn, bạn có thể cần sử dụng các phương pháp số học hoặc công thức cụ thể trong lý thuyết đa thức. Nếu có thêm thông tin hay yêu cầu cụ thể nào khác, vui lòng cho biết!