Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{\cos^2 x + \tan^2 x - 1}{\sin^2 x} = \tan^2 x,
\]

ta bắt đầu bằng cách thay thế \(\tan^2 x\) bằng \(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\):

1. **Thay thế tan² x**:

\[
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}.
\]

Thay vào đẳng thức:

\[
\frac{\cos^2 x + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}.
\]

2. **Rút gọn bên trái**:

Nhân cả tử với \(\cos^2 x\) để có cùng mẫu số:

\[
\cos^2 x + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 1 = \frac{\cos^4 x + \sin^2 x - \cos^2 x}{\cos^2 x}.
\]

3. **Biến đổi tử số**:

Ta biết rằng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), nên

\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x.
\]

Thay vào:

\[
\cos^4 x + \sin^2 x - \cos^2 x = \cos^4 x + (1 - \cos^2 x) - \cos^2 x = \cos^4 x + 1 - 2\cos^2 x.
\]

Vậy, ta có:

\[
\frac{\cos^4 x + 1 - 2\cos^2 x}{\cos^2 x}.
\]

4. **Đưa về mẫu số**:

Bây giờ, ta viết lại bên trái:

\[
\frac{\cos^4 x - 2\cos^2 x + 1}{\cos^2 x} = \frac{(\cos^2 x - 1)^2}{\cos^2 x}.
\]

5. **Rút gọn**:

Ta có:

\[
(\cos^2 x - 1) = -\sin^2 x \Rightarrow \frac{(-\sin^2 x)^2}{\cos^2 x} = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}.
\]

6. **Kết quả**:

\[
\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x \cdot \sin^2 x} = \tan^2 x.
\]

Vậy, ta đã chứng minh đẳng thức:

\[
\frac{\cos^2 x + \tan^2 x - 1}{\sin^2 x} = \tan^2 x.
\]