Để giải bài toán này, ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Tính diện tích tam giác \( BNC \)

1. **Diện tích tam giác \( ABC \)** đã cho là \( 168 \, \text{cm}^2 \).

2. **Tìm tỷ lệ giữa diện tích tam giác \( BNC \) và diện tích tam giác \( ABC \)**:
- Ta có \( AM = \frac{1}{4} AC \) và \( NC = \frac{1}{4} AC \).
- Do đó, \( AC \) được chia thành \( AM + MN + NC = \frac{1}{4}AC + MN + \frac{1}{4}AC \).
- Ta thấy rằng \( MN = \frac{1}{2}AC \) (bởi vì điểm M và N chia cạnh AC thành 4 phần).

3. **Tính tỷ lệ diện tích**:
- Diện tích tam giác \( BNC \) sẽ bằng \( \frac{1}{2} \) diện tích tam giác \( ABC \) do \( AC \) được chia theo tỷ lệ 1:2.
- Do đó, diện tích tam giác \( BNC \) sẽ là:
\[
\text{Diện tích } BNC = \frac{1}{2} \times 168 \, \text{cm}^2 = 84 \, \text{cm}^2
\]

### b) Tính độ dài đường cao \( NH \)

1. **Diện tích tam giác \( ABC \)** được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh} \times \text{đường cao}
\]
Trong trường hợp này, \( S = 168 \, \text{cm}^2 \), \( BC = 21 \, \text{cm} \).

2. **Áp dụng công thức**:
\[
168 = \frac{1}{2} \times 21 \times AH
\]
Giải phương trình trên để tìm độ dài \( AH \):
\[
168 = 10.5 \times AH
\]
\[
AH = \frac{168}{10.5} = 16 \, \text{cm}
\]

### Kết quả
- **Diện tích tam giác \( BNC \)** là \( 84 \, \text{cm}^2 \).
- **Độ dài đường cao \( NH \)** là \( 16 \, \text{cm} \).