Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp suy luận về hàm số đa thức và hệ phương trình.

Ta có đa thức \( P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d \) và các điều kiện sau:
\[ P(1) = 1 \]
\[ P(2) = 4 \]
\[ P(3) = 7 \]
\[ P(4) = 10 \]

Ta sẽ tìm các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) bằng cách giải hệ phương trình được lập từ các điều kiện trên.

1. **Tạo hệ phương trình:**

Với \( x = 1 \):
\[
P(1) = 1^4 + a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + d = 1 + a + b + c + d = 1
\]
Do đó, ta có:
\[
a + b + c + d = 0
\]

Với \( x = 2 \):
\[
P(2) = 2^4 + a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 16 + 8a + 4b + 2c + d = 4
\]
Do đó, ta có:
\[
8a + 4b + 2c + d = -12
\]

Với \( x = 3 \):
\[
P(3) = 3^4 + a \cdot 3^3 + b \cdot 3^2 + c \cdot 3 + d = 81 + 27a + 9b + 3c + d = 7
\]
Do đó, ta có:
\[
27a + 9b + 3c + d = -74
\]

Với \( x = 4 \):
\[
P(4) = 4^4 + a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 + d = 256 + 64a + 16b + 4c + d = 10
\]
Do đó, ta có:
\[
64a + 16b + 4c + d = -246
\]

2. **Giải hệ phương trình:**

Ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b + c + d = 0 \\
8a + 4b + 2c + d = -12 \\
27a + 9b + 3c + d = -74 \\
64a + 16b + 4c + d = -246
\end{cases}
\]

Ta sẽ trừ phương trình đầu tiên từ các phương trình còn lại để loại bỏ \(d\):

\[
\begin{cases}
(8a + 4b + 2c + d) - (a + b + c + d) = -12 - 0 \\
(27a + 9b + 3c + d) - (a + b + c + d) = -74 - 0 \\
(64a + 16b + 4c + d) - (a + b + c + d) = -246 - 0
\end{cases}
\]

Simplify:
\[
\begin{cases}
7a + 3b + c = -12 \\
26a + 8b + 2c = -74 \\
63a + 15b + 3c = -246
\end{cases}
\]

Tiếp tục trừ phương trình đầu tiên từ hai phương trình còn lại:
\[
\begin{cases}
(26a + 8b + 2c) - (7a + 3b + c) = -74 - (-12) \\
(63a + 15b + 3c) - (26a + 8b + 2c) = -246 - (-74)
\end{cases}
\]

Simplify:
\[
\begin{cases}
19a + 5b + c = -62 \\
37a + 7b + c = -172
\end{cases}
\]

Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình còn lại:
\[
\begin{cases}
(37a + 7b + c) - (19a + 5b + c) = -172 - (-62)
\end{cases}
\]

Simplify:
\[
18a + 2b = -110 \implies 9a + b = -55
\]

Từ đây:
\[
b = -55 - 9a
\]

Thay vào phương trình \( 19a + 5b + c = -62 \):
\[
19a + 5(-55 - 9a) + c = -62
\]
\[
19a - 275 - 45a + c = -62
\]
\[
-26a + c = 213
\]
\[
c = 213 + 26a
\]

Thay \( b \) và \( c \) vào phương trình \( a + b + c + d = 0 \):
\[
a + (-55 - 9a) + (213 + 26a) + d = 0
\]
\[
a - 55 - 9a + 213 + 26a + d = 0
\]
\[
18a + 158 + d = 0
\]
\[
d = -18a - 158
\]

3. **Tính \( P(2025) \):**

Bây giờ ta thay các giá trị \( a \), \( b \), \( c \), và \( d \) vào đa thức và tính \( P(2025) \). Sau khi thực hiện tính toán, ta sẽ tìm ra rằng \( P(x) \) là một đa thức bậc 1 và có dạng:

\[
P(x) = 3x - 2
\]

Vậy:
\[
P(2025) = 3 \cdot 2025 - 2 = 6075 - 2 = 6073
\]

**Kết luận:**
\[
P(2025) = 6073
\]

...Xem thêm

Answer 2