Để làm việc với hàm số \( y = \frac{x + 4}{x - 2} \), ta có thể thực hiện một số bước phân tích và nghiên cứu.

### 1. Xác định các đặc điểm cơ bản của hàm số:

#### a. **Đoạn mã hóa**:
- **Hàm số không xác định tại \( x = 2 \)** vì mẫu số trở thành 0 tại điểm này. Đây là một điểm không xác định (hay điểm kỳ dị).

#### b. **Tính đối xứng**:
- Hàm số không có tính đối xứng rõ ràng.

#### c. **Xác định phương trình hoành độ và tung độ**:
- **Tìm hoành độ**:
- Để tìm hoành độ, ta giải phương trình \( y = 0 \):
\[
\frac{x + 4}{x - 2} = 0 \implies x + 4 = 0 \implies x = -4
\]
- Vậy hoành độ của hàm số là \( x = -4 \), và \( y = 0 \) tại \( x = -4 \).

- **Tìm tung độ**:
- Để tìm tung độ, ta thay \( x = 0 \):
\[
y = \frac{0 + 4}{0 - 2} = \frac{4}{-2} = -2
\]
- Vậy tung độ của hàm số là \( y = -2 \) khi \( x = 0 \).

#### d. **Xác định các điểm cực trị**:
- Để tìm các điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Đạo hàm của hàm số \( y \) là:
\[
y = \frac{x + 4}{x - 2}
\]
Sử dụng quy tắc đạo hàm cho phân số:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 4) \cdot 1}{(x - 2)^2}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x - 2 - (x + 4)}{(x - 2)^2}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x - 2 - x - 4}{(x - 2)^2}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-6}{(x - 2)^2}
\]

Đạo hàm luôn âm (trừ khi \( x = 2 \), hàm số không xác định tại đó), nên hàm số là giảm trên miền xác định của nó.

#### e. **Xác định các asymptote**:
- **Asymptote đứng**:
- Xảy ra tại \( x = 2 \), nơi hàm số không xác định.

- **Asymptote ngang**:
- Để tìm asymptote ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \):
\[
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 4}{x - 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 1
\]
- Vậy asymptote ngang là \( y = 1 \).

### Tóm lại:
- Hàm số không xác định tại \( x = 2 \).
- Hàm số có hoành độ tại \( x = -4 \) và tung độ tại \( y = -2 \).
- Hàm số giảm trên miền xác định của nó.
- Hàm số có asymptote đứng tại \( x = 2 \) và asymptote ngang tại \( y = 1 \).

Để phân tích hàm số \( y = \frac{x + 4}{x - 2} \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Tìm tập xác định:** Hàm số này xác định với mọi giá trị của \( x \) trừ \( x = 2 \) vì tại \( x = 2 \), mẫu số trở thành 0, dẫn đến hàm không xác định.

**Tập xác định:** \( x \neq 2 \)

2. **Tìm các điểm cắt trục:**

- **Cắt trục \( y \):** Đặt \( x = 0 \) và giải phương trình \( y = \frac{0 + 4}{0 - 2} \):
\[
y = \frac{4}{-2} = -2
\]
Do đó, điểm cắt trục \( y \) là \( (0, -2) \).

- **Cắt trục \( x \):** Đặt \( y = 0 \) và giải phương trình \( \frac{x + 4}{x - 2} = 0 \):
\[
x + 4 = 0 \implies x = -4
\]
Do đó, điểm cắt trục \( x \) là \( (-4, 0) \).

3. **Tìm tiệm cận:**

- **Tiệm cận đứng:** Xảy ra tại giá trị của \( x \) mà mẫu số bằng 0. Đây là \( x = 2 \).

- **Tiệm cận ngang:** Xem xét hành vi của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Khi \( x \) rất lớn hoặc rất nhỏ, phần \( \frac{4}{x-2} \) trở nên rất nhỏ so với \( x \). Do đó,
\[
y \approx \frac{x}{x} = 1
\]
Do đó, tiệm cận ngang của hàm số là \( y = 1 \).

4. **Tính đạo hàm (nếu cần phân tích thêm về sự thay đổi của hàm):**

Đạo hàm của hàm số này sẽ giúp phân tích sự biến thiên của hàm.

\[
y = \frac{x + 4}{x - 2}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

Trong trường hợp này, \( u = x + 4 \) và \( v = x - 2 \), do đó \( u' = 1 \) và \( v' = 1 \):
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(1)(x - 2) - (x + 4)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - 4}{(x - 2)^2} = \frac{-6}{(x - 2)^2}
\]
Đạo hàm này cho thấy hàm số giảm liên tục trên tập xác định.

Tóm lại, hàm số \( y = \frac{x + 4}{x - 2} \) có tập xác định là \( x \neq 2 \), cắt trục \( x \) tại \( (-4, 0) \), cắt trục \( y \) tại \( (0, -2) \), có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \) và tiệm cận ngang tại \( y = 1 \).