Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính giá trị của biểu thức \(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\), chúng ta có thể sử dụng các công thức lượng giác và một số tính chất cơ bản. Dưới đây là cách giải chi tiết.

### Bước 1: Sử dụng Định lý Pythagoras và Công thức Đôi

Ta có công thức lượng giác:
\[
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\]
và
\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x
\]

### Bước 2: Xác định Tổng \(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\)

Ta có thể sử dụng công thức cộng cho \(\cos 2x\):
\[
\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1
\]

Áp dụng công thức này:
\[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
\]

Với \(x = \frac{\pi}{8}\) thì \(2x = \frac{\pi}{4}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}
\]
và \(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}
\]

Với \(x = \frac{3\pi}{8}\) thì \(2x = \frac{3\pi}{4}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{1 + \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)}{2}
\]
và \(\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}
\]

### Bước 3: Cộng Các Giá Trị

Cộng hai giá trị đã tính:
\[
\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{2 - \sqrt{2}}{4}
\]
\[
= \frac{(2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2})}{4}
\]
\[
= \frac{4}{4} = 1
\]

Vậy giá trị của biểu thức \(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\) là \(\boxed{1}\).

...Xem thêm

Answer 2

Để tính giá trị của biểu thức \(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\), chúng ta có thể sử dụng các công thức lượng giác và một số tính chất cơ bản. Dưới đây là cách giải chi tiết.

### Bước 1: Sử dụng Định lý Pythagoras và Công thức Đôi

Ta có công thức lượng giác:
\[
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\]
và
\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x
\]

### Bước 2: Xác định Tổng \(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\)

Ta có thể sử dụng công thức cộng cho \(\cos 2x\):
\[
\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1
\]

Áp dụng công thức này:
\[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
\]

Với \(x = \frac{\pi}{8}\) thì \(2x = \frac{\pi}{4}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}
\]
và \(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}
\]

Với \(x = \frac{3\pi}{8}\) thì \(2x = \frac{3\pi}{4}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{1 + \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)}{2}
\]
và \(\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}
\]

### Bước 3: Cộng Các Giá Trị

Cộng hai giá trị đã tính:
\[
\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{2 - \sqrt{2}}{4}
\]
\[
= \frac{(2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2})}{4}
\]
\[
= \frac{4}{4} = 1
\]

Vậy giá trị của biểu thức \(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\) là \(\boxed{1}\).

Answer 3

Để tính \( \cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} \), chúng ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác.

Nhắc lại một số công thức:
1. \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \)

Vì vậy:

\[
\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}
\]
\[
\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4}}{2}
\]

Với giá trị của \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \):

\[
\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}
\]
\[
\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức ban đầu:

\[
\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} + \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}
\]

Kết hợp hai phần lại:

\[
= \frac{(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{2} = \frac{2}{2} = 1
\]

Vậy kết quả là:

\[
\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} = 1
\]

2 câu trả lời 162

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 11