Gọi số lít dầu ban đầu ở thùng 1 là \( x \) và ở thùng 2 là \( y \).

### Bước 1: Thiết lập phương trình từ điều kiện đầu tiên
- Khi chuyển 60 lít từ thùng 1 sang thùng 2, số dầu ở thùng 1 là \( x - 60 \), và ở thùng 2 là \( y + 60 \).
- Theo bài, sau khi chuyển, hai thùng có số dầu bằng nhau, tức là:
\[
x - 60 = y + 60
\]
Giải phương trình này:
\[
x - y = 120 \tag{1}
\]

### Bước 2: Thiết lập phương trình từ điều kiện thứ hai
- Khi chuyển 15 lít từ thùng 2 sang thùng 1, số dầu ở thùng 1 là \( x + 15 \), và ở thùng 2 là \( y - 15 \).
- Theo bài, lúc này, số dầu ở thùng 2 bằng \( \frac{2}{5} \) số dầu ở thùng 1, tức là:
\[
y - 15 = \frac{2}{5}(x + 15)
\]
Giải phương trình này:
\[
y - 15 = \frac{2}{5}(x + 15)
\]
Nhân hai vế với 5 để khử mẫu:
\[
5(y - 15) = 2(x + 15)
\]
\[
5y - 75 = 2x + 30
\]
\[
5y = 2x + 105 \tag{2}
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Từ phương trình (1): \( x - y = 120 \), suy ra \( x = y + 120 \).

Thay \( x = y + 120 \) vào phương trình (2):
\[
5y = 2(y + 120) + 105
\]
\[
5y = 2y + 240 + 105
\]
\[
5y = 2y + 345
\]
\[
5y - 2y = 345
\]
\[
3y = 345
\]
\[
y = 115
\]

Thay \( y = 115 \) vào phương trình \( x = y + 120 \):
\[
x = 115 + 120 = 235
\]

### Kết quả:
- Số dầu ban đầu ở thùng 1 là 235 lít.
- Số dầu ban đầu ở thùng 2 là 115 lít.