Để tìm số lượng gà, vịt, và ngan trong nhà Mai nuôi, ta đặt các ẩn số và lập hệ phương trình dựa trên các điều kiện đã cho.

**Bước 1: Đặt ẩn số**
- Gọi \( x \) là số gà.
- Gọi \( y \) là số vịt.
- Gọi \( z \) là số ngan.

**Bước 2: Lập các phương trình**
- Theo đề bài, số gà bằng một nửa số vịt:
\[
x = \frac{1}{2}y \quad \text{(1)}
\]
- Số ngan bằng \( \frac{4}{3} \) số gà:
\[
z = \frac{4}{3}x \quad \text{(2)}
\]
- Tổng số gà, vịt, và ngan là 260 con:
\[
x + y + z = 260 \quad \text{(3)}
\]

**Bước 3: Thay \( x \) và \( z \) vào phương trình (3)**

- Từ phương trình (1): \( y = 2x \).
- Từ phương trình (2): \( z = \frac{4}{3}x \).

Thay \( y \) và \( z \) vào phương trình (3):

\[
x + 2x + \frac{4}{3}x = 260
\]

**Bước 4: Quy đồng mẫu số và giải phương trình**

- Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{3x + 6x + 4x}{3} = 260
\]
\[
\frac{13x}{3} = 260
\]

- Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:
\[
13x = 780
\]

- Giải phương trình để tìm \( x \):
\[
x = \frac{780}{13} = 60
\]

**Bước 5: Tính số lượng vịt và ngan**

- \( y = 2x = 2 \times 60 = 120 \) (số vịt)
- \( z = \frac{4}{3}x = \frac{4}{3} \times 60 = 80 \) (số ngan)

**Kết quả:**

- Số gà: 60 con
- Số vịt: 120 con
- Số ngan: 80 con