Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định các sản phẩm hóa học

Khi khí \( X_2 \) phản ứng với \( H_2 \), ta có:

\[
X_2 + H_2 \rightarrow 2XH
\]

Sản phẩm \( XH \) phản ứng với nước để tạo ra dung dịch \( Y \). Chúng ta có:

\[
XH + H_2O \rightarrow XOH + H_2
\]

Do đó, dung dịch \( Y \) chứa các ion \( X^+ \) và \( OH^- \).

### Bước 2: Tính số mol Ba(OH)₂ phản ứng

Phần thứ nhất của dung dịch \( Y \) phản ứng với 125 ml dung dịch \( Ba(OH)_2 \) 0,88 M.

\[
\text{Số mol } Ba(OH)_2 = 0,125 \text{ L} \times 0,88 \text{ M} = 0,11 \text{ mol}
\]

Dung dịch \( Ba(OH)_2 \) phản ứng với \( XOH \) theo tỷ lệ 1:1 để tạo ra kết tủa \( BaX_2 \):

\[
XOH + Ba(OH)_2 \rightarrow BaX_2 + 2H_2O
\]

Số mol \( XOH \) phản ứng cũng là 0,11 mol.

### Bước 3: Tính số mol AgNO₃ phản ứng

Phần thứ hai của dung dịch \( Y \) phản ứng với \( AgNO_3 \) và tạo ra 31,57 gam kết tủa.

Kết tủa là \( AgX \), với khối lượng mol của \( AgX \) là:

\[
31,57 \text{ g} = n \times (108 + M_X)
\]

Trong đó, \( M_X \) là khối lượng nguyên tử của đồng vị \( X \). Ta cần tìm số mol \( X \):

\[
n = \frac{31,57}{108 + M_X}
\]

Từ phản ứng của \( X \) với \( AgNO_3 \):

\[
XOH + AgNO_3 \rightarrow AgX + NO_3^- + H_2O
\]

Do đó, số mol \( AgNO_3 \) phản ứng với số mol \( XOH \) là 1:1.

### Bước 4: Tính tỉ lệ phần trăm đồng vị

Ta biết:

\[
\text{Tổng số mol } XOH = 0,11 \text{ mol}
\]

Và số mol của \( X \) bằng số mol của \( AgX \):

\[
\text{Số mol } X = n = 0,11
\]

Sử dụng số mol kết tủa và khối lượng mol của \( X \):

\[
31,57 \text{ g} = 0,11 \text{ mol} \times (108 + M_X)
\]

\[
108 + M_X = \frac{31,57}{0,11} \approx 287
\]

\[
M_X \approx 287 - 108 = 179
\]

Chúng ta có hai đồng vị: \( ^{35}X \) và \( ^{37}X \). Tính phần trăm số nguyên tử:

\[
\text{Khối lượng trung bình} = \frac{x \times 35 + (1 - x) \times 37}{100}
\]

\[
\frac{x \times 35 + (1 - x) \times 37}{100} = 179
\]

\[
35x + 37 - 37x = 17900
\]

\[
-2x + 37 = 17900
\]

\[
2x = 37 - 17900
\]

\[
x = \frac{17900 - 37}{2}
\]

\[
x \approx 0,70
\]

Vậy thành phần phần trăm nguyên tử của mỗi đồng vị:

- \( ^{35}X \) chiếm khoảng 70%
- \( ^{37}X \) chiếm khoảng 30%