Bài toán này liên quan đến việc tính số sản phẩm ban đầu của mỗi người dựa trên một số điều kiện cho trước. Hãy giải từng bước:

### Gọi các đại lượng:
- \( x \) là số sản phẩm ban đầu của người thứ nhất.
- \( y \) là số sản phẩm ban đầu của người thứ hai.
- \( z \) là số sản phẩm ban đầu của người thứ ba.

Theo đề bài:
1. Tổng số sản phẩm của cả 3 người là:
\[
x + y + z = 213
\]

2. Nếu bớt đi \( \frac{1}{5} \) số sản phẩm của người thứ nhất, người đó còn lại 48 sản phẩm:
\[
x - \frac{1}{5}x = 48 \implies \frac{4}{5}x = 48 \implies x = 48 \times \frac{5}{4} = 60
\]
Vậy người thứ nhất ban đầu làm được 60 sản phẩm.

3. Người thứ hai làm thêm \( \frac{1}{2} \) số sản phẩm của mình:
\[
Số sản phẩm sau khi thêm của người thứ hai: y + \frac{1}{2}y = \frac{3}{2}y
\]

4. Người thứ ba làm thêm \( \frac{1}{3} \) số sản phẩm của mình:
\[
Số sản phẩm sau khi thêm của người thứ ba: z + \frac{1}{3}z = \frac{4}{3}z
\]

5. Khi đó số sản phẩm của người thứ hai và thứ ba bằng nhau:
\[
\frac{3}{2}y = \frac{4}{3}z
\]
Ta nhân chéo để giải phương trình này:
\[
9y = 8z \implies y = \frac{8}{9}z
\]

### Tổng hợp lại các phương trình:
1. \( x + y + z = 213 \)
2. \( x = 60 \)
3. \( y = \frac{8}{9}z \)

Thay \( x = 60 \) và \( y = \frac{8}{9}z \) vào phương trình thứ nhất:
\[
60 + \frac{8}{9}z + z = 213
\]
\[
60 + \frac{17}{9}z = 213
\]
\[
\frac{17}{9}z = 213 - 60 = 153
\]
\[
z = \frac{153 \times 9}{17} = 81
\]

Thay \( z = 81 \) vào \( y = \frac{8}{9}z \):
\[
y = \frac{8}{9} \times 81 = 72
\]

### Kết luận:
- Số sản phẩm ban đầu của người thứ nhất là 60.
- Số sản phẩm ban đầu của người thứ hai là 72.
- Số sản phẩm ban đầu của người thứ ba là 81.

Để giải bài toán, ta ký hiệu:

- Số phẩm của người thứ nhất là \( x \).
- Số sản phẩm của người thứ hai là \( y \).
- Số sản phẩm của người thứ ba là \( z \).

Theo bài toán, ta có các thông tin sau:

1. Tổng số sản phẩm mà 3 người làm được là 213:

\[
x + y + z = 213
\]

2. Bớt đi \( \frac{1}{5} \) số sản phẩm của người thứ nhất thì số sản phẩm của người thứ nhất còn lại là 48. Tức là:

\[
x - \frac{1}{5}x = 48
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{4}{5}x = 48 \implies x = 48 \times \frac{5}{4} = 60
\]

Vậy số sản phẩm của người thứ nhất lúc đầu là \( x = 60 \).

3. Giờ chúng ta thay giá trị \( x \) vào phương trình tổng:

\[
60 + y + z = 213 \implies y + z = 153
\]

4. Người thứ hai làm thêm \( \frac{1}{2} \) số sản phẩm của mình, nên số sản phẩm của người thứ hai sau khi làm thêm là:

\[
y + \frac{1}{2}y = \frac{3}{2}y
\]

5. Người thứ ba làm thêm \( \frac{1}{3} \) số sản phẩm của mình, nên số sản phẩm của người thứ ba sau khi làm thêm là:

\[
z + \frac{1}{3}z = \frac{4}{3}z
\]

6. Khi đó, số sản phẩm của người thứ hai và người thứ ba bằng nhau:

\[
\frac{3}{2}y = \frac{4}{3}z
\]

Giải phương trình này:

Nhân cả hai vế với 6 (bội chung nhỏ nhất của 2 và 3) để xóa mẫu:

\[
9y = 8z
\]

Từ đây, ta có:

\[
z = \frac{9}{8}y
\]

7. Thay giá trị của \( z \) vào phương trình \( y + z = 153 \):

\[
y + \frac{9}{8}y = 153
\]

Gộp lại:

\[
\frac{17}{8}y = 153 \implies y = 153 \times \frac{8}{17}
\]

Tính giá trị:

\[
y = 72
\]

8. Thay giá trị của \( y \) vào phương trình \( y + z = 153 \) để tìm \( z \):

\[
72 + z = 153 \implies z = 153 - 72 = 81
\]

### Kết luận

Số sản phẩm mỗi người lúc đầu là:

- Người thứ nhất: \( x = 60 \)
- Người thứ hai: \( y = 72 \)
- Người thứ ba: \( z = 81 \)

Vậy:

\[
\boxed{(60, 72, 81)}
\]