Để chứng minh rằng \(1 + 1 \neq 2\) trong một số lý thuyết hoặc hệ thống toán học không phải là vấn đề đơn giản. Trong hệ thống số học chuẩn mà chúng ta sử dụng hàng ngày, \(1 + 1 = 2\) là đúng và không thể chối cãi. Tuy nhiên, có thể đưa ra một số bối cảnh hoặc lý thuyết toán học khác để minh họa rằng trong các hệ thống khác, \(1 + 1\) có thể không bằng 2.

Dưới đây là một vài cách mà chúng ta có thể xem xét để "chứng minh" hoặc minh họa rằng \(1 + 1 \neq 2\) trong các hệ thống khác nhau:

### 1. **Hệ thống số học khác (Modulo Arithmetic)**

Trong số học modulo, các phép toán được thực hiện trên các lớp đồng dư. Ví dụ, trong số học modulo 2:

- Tính toán trong modulo 2:
\[
1 + 1 \equiv 0 \pmod{2}
\]

Trong hệ thống này, kết quả của \(1 + 1\) là 0, không phải 2. Vì vậy, trong modulo 2, \(1 + 1 \neq 2\) (mà bằng 0).

### 2. **Các hệ thống logic hoặc lý thuyết khác**

Trong một số hệ thống logic hoặc lý thuyết toán học đặc biệt, định nghĩa của các phép toán có thể khác so với hệ số học thông thường. Ví dụ:

- **Trong lý thuyết tập hợp khác thường**: Nếu định nghĩa của các phép toán được thay đổi một cách đặc biệt hoặc nếu sử dụng các quy ước không chuẩn, thì các kết quả có thể khác so với số học thông thường.

### 3. **Sự bất đồng nhất trong các định nghĩa hoặc ngữ cảnh**

Đôi khi, các hệ thống toán học có thể thay đổi định nghĩa hoặc ngữ cảnh, dẫn đến các kết quả khác nhau:

- **Trong các ngữ cảnh toán học khác**: Một số lý thuyết toán học có thể định nghĩa phép cộng theo cách khác với số học chuẩn, dẫn đến các kết quả khác.

### 4. **Trường hợp giả định đặc biệt**

Một ví dụ thú vị là trong một số lý thuyết toán học giả định hoặc trong các lý thuyết hư cấu, các định nghĩa có thể bị thay đổi. Ví dụ, trong một trò chơi lý thuyết hoặc trong một hệ thống số học hư cấu, có thể định nghĩa phép cộng hoặc số không theo cách khác.

### Tóm lại

Trong hệ thống số học cơ bản mà chúng ta sử dụng hàng ngày, \(1 + 1 = 2\) là đúng và không thể chối cãi. Tuy nhiên, trong các hệ thống toán học đặc biệt, như số học modulo hoặc các lý thuyết toán học không chuẩn, có thể định nghĩa phép toán theo cách khác, dẫn đến kết quả khác. Vì vậy, trong những trường hợp này, \(1 + 1\) có thể không bằng 2, nhưng điều này phụ thuộc vào hệ thống hoặc ngữ cảnh toán học cụ thể mà chúng ta đang xem xét.

Nhà phát minh bị lãng quên
1.1. Nỗi ám ảnh của người chăn cừu

Hàng ngày người chăn cừu phải đưa đàn cừu của mình ra cánh đồng vào buổi sáng sớm và đưa chúng về chuồng vào buổi chiều, khi chúng đã no nê. Nhưng làm thế nào để biết được liệu đàn cừu đã được đưa về một cách đầy đủ? Đầu tiên anh ta dùng trí nhớ của mình (bộ lạc phải chọn người thông minh và có năng khiếu Toán học để giao nhiệm vụ chăn thả đàn cừu, nguồn dinh dưỡng quý giá cho cả bộ lạc) để ghi nhớ đặc điểm từng con. Nhưng với sự phát triển của bầy cừu anh ta càng ngày càng gặp khó khăn nhất là sau khi dùng hết các ngón tay, ngón chân hay thậm chí các đốt ngón tay. Anh ta phải chia chúng ra theo từng loại, đó là các con già, các con trưởng thành (kích cỡ lớn hơn) và các con nhỏ. Tuy nhiên dần dần sự phân loại này cũng không đáp ứng được quy mô của đàn cừu và thỉnh thoảng có sự nhầm lẫn đó là con non sắp trưởng thành lại to lớn hơn các con già và con lớn tuổi, hay có con cừu nào đột nhiên bị ốm lại gầy đi...

Sau một thời gian vật lộn với cả tá cách phân loại mà rốt cục kiểu nào cũng xảy ra sai sót trong việc quản lí số lượng đàn cừu của mình, anh ta phát minh ra một trong những phát minh sớm nhất của nhân loại (tiếc là Toán học ra đời sớm hơn chữ viết nên không có lịch sử để lưu lại họ tên, ngày sinh và tên bộ lạc của anh ta?!) đó là bộ đếm.

1.2. Bộ đếm và môi trường tuyệt đối

Sau khi sử dụng các cách phân loại theo đặc điểm đều bị nhầm lẫn, anh ta quyết định bỏ hết tất cả các đặc điểm của các con vật và coi chúng hết thảy như nhau. Một buổi anh ta chuẩn bị một đống sỏi trước chuồng và lùa đàn cừu về sớm hơn thường lệ (thỉnh thoảng cho chúng đói một chút cũng không sao?!) và bắt đầu thực nghiệm phát minh của mình. Mỗi con cừu đi vào chuồng anh ta liền hô “Ya” nhặt một hòn sỏi bỏ sang một vị trí khá kín đáo bên cạnh đó. Khi con cừu cuối cùng vào chuồng thì anh ta cũng có được một đống sỏi khá lớn và anh ta xem đó không khác đàn cừu của mình. Sẽ thật bất hạnh nếu các cơn gió hay bão cát thổi bay hoặc vô tình thêm vào những viên sỏi lạ khác nên anh ta bèn cất giấu chúng giữa các hốc cây và tảng đá lớn. Khi có một con cừu chết hay bị giết thịt, anh ta đơn giản bỏ ra 1 viên sỏi và ngược lại khi có một con cừu được sinh ra. Anh ta không hề hay biết rằng mình đang thực hiện phép toán -1 và +1 kinh điển của nhân loại.

Như vậy để thực hiện được phép đếm đàn cừu thì anh ta phải xem tất cả các con cừu và hòn sỏi là như nhau, anh ta đã tạo ra khái niệm môi trường tuyệt đối để thực hiện phép đếm, song hành 1-1 giữa cừu và sỏi, và hai phép toán -1, +1.

1.3. Phát minh ra bài toán 1+1=2

Cũng giống như các nhà phát minh sau này của nhân loại, anh chàng chăn cừu phát minh ra bài toán 1+1=2 là do anh ta phải làm phép toán này rất nhiều lần trong cuộc đời. Khi đàn cừu ra khỏi chuồng hay đi về thì phép toán đầu tiên đó là “Ya”, “Ya” và anh ta thực hiện bỏ một viên sỏi và thêm một viên nữa vào chỗ cất giấu. Khi một con cừu mẹ đẻ con, hay khi ở cánh đồng, lúc đàn cừu đang chơi đùa thì anh ta lại thực nghiệm phát minh của mình bằng cách quan sát các cặp đôi cừu chúng chơi với nhau như thế nào?! Mỗi cặp đôi cừu anh ta lại lấy hai viên sỏi và “Ya” “Ya” chúng, và bỏ đi khi chúng tách nhau ra. Việc đếm cặp cứ lặp đi lặp lại và anh ta thấy rằng với hai viên sỏi trong tay anh ta có thể đếm “Ya” “Ya” cho bất kỳ cặp cừu nào. Do thời đó chưa có chữ và giấy viết nên anh ta ghi lại phát minh của mình bằng cách đọc cặp cừu bằng cách kéo dài tiếng “Ya” của mình ra một chút:

“Ya!” + “Ya!” = “Yaa…” (Nghĩa là: 1+1=2).

Như vậy bài toán 1+1=2 đúng khi chúng ta ở môi trường số đếm hoặc quy định tất cả các đối tượng để thực hiện bài toán đều phải như nhau một cách tuyệt đối. Sau này anh ta còn phát minh ra một số bài toán như 2+1, 3+1… nhưng do tiếng “Yaaaaa…” không thể kéo dài mãi mà không nhầm lẫn nên anh ta phải đợi đến thời kì nền văn minh Sumeria để hoàn thiện bộ đếm của mình.

1+1=2 có đúng không?
2.1. Khi nào chúng ta thực hiện được phép toán 1+1

Như vậy phép toán 1+1=2 đã được mặc nhiên công nhận từ bài toán đếm cừu của nhà toán học cổ đại nọ và ấn định qua hàng ngàn thế hệ. Vậy nên trải qua hàng ngàn năm, đã không ai nghi ngờ 1+1=2 chứ không phải một số nào khác.

Nhưng xét về mặt bản chất 1+1 không có ý nghĩa, chúng ta chỉ thực hiện được 1+1 khi các số 1 này được gán với một giá trị, đại lượng nào đó và chúng ta thực hiện phép toán là với các giá trị, đại lượng. Ví dụ 1 km + 1 km = 2 km, 1 năm + 1 năm = 2 năm (đọc đến đây một số bạn lại nghĩ chắc tác giả lại sử dụng kiểu ngụy biện 1km + 1m chứ gì? Xin thưa là ở bài viết này tất cả các đại lượng sẽ cùng đơn vị đo để chứng minh bài toán về mặt bản chất nhé!). Như vậy thời phổ thông chúng ta học 1+1=2 là ở giá trị nào?

Nếu chúng ta chịu khó quay lại 20-30 năm trước, không khó để thấy rằng các sách giáo khoa đều giảng về số tự nhiên thông qua một đường thẳng có các điểm tương ứng với các số 0,1,2,3,4…

Giá trị số 1 ứng với giá trị đoạn thẳng từ điểm 0 đến điểm 1, giá trị số 2 ứng với giá trị đoạn thẳng từ 0 đến điểm 2,… cho đến số tự nhiên n.

Như vậy bài toán 1+1=2 đúng tương ứng với bài toán: “cho 3 điểm 0,1,2 theo thứ tự thẳng hàng, khoảng cách từ điểm 0 đến điểm 1 bằng khoảng cách từ điểm 1 đến điểm 2, vậy khoảng cách từ điểm 0 đến điểm 2 bằng tổng khoảng cách từ điểm 0 đến điểm 1 + khoảng cách từ điểm 1 đến điểm 2” . 

0        1        2        3        4

Tuy nhiên, bài toán này chưa hề được chứng minh mà giống với bài toán đường thẳng song song được thừa nhận trong các tiên đề Euclid, mà kết quả của nó là một định lý mà hầu như ai cũng biết: “Tổng các góc của một tam giác luôn bằng 1800”.

Để cho bạn đọc thấy sự liên quan tuyệt vời giữa hai bài toán này trong lý thuyết toán học và thực tiễn, tôi xin nêu các ví dụ như sau:

Ví dụ 1: 1 con bò + 1 con bò không bao giờ bằng 2 con bò bởi vì không bao giờ có 2 con bò giống nhau một cách tuyệt đối.

Ví dụ 2: 1 năm + 1 năm không bao giờ bằng 2 năm vì thời gian là 1 chiều không thể có năm nào giống năm nào để thực hiện phép toán trên được (giống như câu không ai tắm 2 lần trên 1 dòng sông vậy).

Ví dụ 3: 1 triệu + 1 triệu = 2 triệu.

Nếu bạn dùng tài khoản ngân hàng thì bao giờ bạn cũng phải trả phí (phí chuyển tiền theo mỗi lần chuyển, hoặc phí duy trì tài khoản hoặc các phí ẩn danh khác mà các ngân hàng áp dụng để khách hàng có cảm giác miễn phí chuyển tiền). Như vậy, trong bài toán tiền tệ: 1 triệu + 1 triệu < 2 triệu, và giá trị 1+1 tiến sát 2 hay không phụ thuộc vào lượng tiền và phí dịch vụ mà ngân hàng cung cấp.

Đến đây chắc hẳn nhiều người muốn tôi đưa ra ví dụ ở các đại lượng mang tính tuyệt đối đó là khoảng cách không gian, vâng tôi rất muốn vậy vì nó rất gần với Toán học.

Ví dụ 4: 1km + 1km = 2 km

Các nhà khoa học thực nghiệm đã lấy 3 điểm: A, B, C theo thứ tự thẳng hàng, A cách B và B cách C đều bằng 1km. Bằng cách đo đạc thực tiễn các nhà khoa học đã đo đạc và đưa ra kết quả chính xác 1km+1km=2km. Nhưng khoan, bài toán thực nghiệm trên có nhiều kẽ hở. Đầu tiên các bạn hãy nhớ rằng trái đất hình tròn nên khi đo đạc 3 điểm A,B,C nhìn có vẻ thẳng hàng nhưng dù sao bản chất chúng vẫn là đường cong. Hơn nữa nếu tôi dùng đại lượng lớn hơn km thì sao nhỉ: 1 nửa vòng trái đất + 1 nửa vòng trái đất = 0 ?! (đây không phải là âm nhạc đâu nhé).

2.2. Vậy 1+1 bằng bao nhiêu?

Bây giờ để có môi trường tuyệt đối chúng ta hãy ra ngoài không gian khí quyển trái đất và vũ trụ, nơi có thể được xem là môi trường chân không để tìm câu trả lời nhé.

Với khoảng cách nhỏ như 1km, 1 triệu km, 1 AU… bằng thực nghiệm thì bài toán 1+1=2 (đại lượng đo đạc được quy ước) dường như luôn đúng. Tuy nhiên, vấn đề ở đây lại nằm trong thiết bị đo đạc, chúng đang cố tình đánh lừa chúng ta bằng sai số của chính chúng. Hiện nay thiết bị đo đạc dù chính xác cỡ nguyên tử cũng có sai số dao động tầm 10-12 - 10-16. Với khoảng cách đủ nhỏ (ở trong phạm vi Hệ Mặt trời) thì sai số trong đo đạc là không thể nhận biết được.

Vậy ra ngoài không gian vũ trụ thì sao? Song song với sự phát triển của thuyết tương đối về không thời gian của Eisntein, thì hình học Lobachevsky (hình học phi Euclid) cũng được nghiên cứu và ngày càng chứng minh được tính đúng đắn trong thực tiễn (cho dù ít được biết đến hơn do không giảng dạy trong chương trình phổ thông), và điều đó chỉ ra rằng, trong không gian vĩ mô, tổng các góc của 1 tam giác dao động từ lớn hơn 00 đến nhỏ hơn 1800 (nghĩa là nhỏ hơn 1800), tương đương bài toán 1+1 (giá trị khoảng cách) dao động từ lớn hơn 1 đến nhỏ hơn 2 (giá trị khoảng cách).

 Với hệ đo càng nhỏ thì giá trị 1+1 càng tiến đến sát 2 (1,99999999….. 9999…) với hàng chục, hàng trăm số 9 đàng sau số 1, và càng tiến sát 1 nếu hệ đo càng lớn. Với hệ đo lớn tầm hàng nghìn năm ánh sáng thì giá trị 1+1 ở khoảng 1,99999…9 (10-20 số 9) và ở mức hàng tỉ đến hàng chục tỉ năm ánh sáng thì giá trị nó nằm đâu đó từ 1,01-1,5 (cái này rất khó đo đạc do phụ thuộc vào độ lớn của vũ trụ và công nghệ khoa học).

2.3. Khi nào 1+1=2?

Thời cuối cấp 2, tôi cũng từng bật cười khi đọc các bài báo viết về vấn đề 1+1 bằng bao nhiêu và luôn nghĩ các cách chứng minh khác đều là một hình thức ngụy biện nào đó. Nhưng khi học cấp 3, lúc mà học toán đúng nghĩa như một môn khoa học thì tôi biết rằng đã có rất nhiều công trình toán học được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín và phải vận dụng vô vàn các định lí toán học cao cấp “chỉ” để chứng minh 1+1<2.

Vâng, để tránh các bạn đọc hoang mang vì tự hỏi liệu trường học đang dạy cho các con chúng ta những vấn đề sai thực tiễn thì tôi xin thưa rằng, trong nhiều trường hợp 1+1 vẫn 2.

Như tôi đã nhắc ở trên thì khi ở môi trường tuyệt đối 1+1=2 (con cừu giống nhau, viên sỏi giống nhau…). Và may thay, hầu hết các giá trị đại lượng khoa học thì ở Trái đất cơ bản cung cấp một môi trường gần như tuyệt đối đủ để các em học trong trường phổ thông. Hiện nay, nhiều nhà toán học đã xây dựng số tự nhiên thông qua lí thuyết tập hợp để đảm bảo môi trường tuyệt đối cho nó cũng như trong nhiều mô hình chứng minh tính đúng đắn của bài toán 1+1=2.

2.4. Những vấn đề thực tiễn

Qua những vấn đề trong bài viết này tôi thiết nghĩ cần phải thay đổi cách dạy học toán trong chương trình phổ thông để làm sao phù hợp với thực tiễn hơn, đó là:

Thứ nhất: Chú trọng vào kiến thức và khái niệm.

Chương trình làm sao để học sinh hiểu các khái niệm toán học đơn giản, khuyến khích các câu hỏi của các em như tại sao 1+1=2 (với điều kiện giáo viên đủ trình độ để giảng) chứ không phải chú trọng vào các bài toán nặng tính đánh đố như hiện nay.

Thứ hai: Gắn Toán học với cuộc sống. Nếu chúng ta chỉ dạy theo các kiến thức ấn định và dán nhãn thì kết quả của việc dạy học toán trong trường phổ thông (ngoài các em chuyên toán ra) thì chỉ áp dụng trong việc thanh toán trong khi đi chợ và siêu thị. Các em đâu biết được rằng các bài toán các em được mặc định là đúng nhưng khi ra cuộc sống, ở môi trường lớn hơn và vĩ mô hơn thì bài toán đó cho nhiều kết quả khác nhau, giống như 1+1=0 hay 1+1=3 như nền âm nhạc Việt nhiều lần khẳng định!

Thứ ba: Bỏ phần liên quan đến toán học cao cấp (tích phân, vi phân) để tăng phần tập hợp và xác suất. Lý thuyết tập hợp và xác suất là một trong những cách tốt nhất gắn liền toán học với thực tiễn mà đáng tiếc rằng chương trình giảng dạy trong trường phổ thông hiện nay còn đang xem nhẹ.