Để tìm tất cả số tự nhiên $x$ thỏa mãn điều kiện $\sqrt{\frac{x}{3}} - \sqrt{x}$ là số nguyên, ta sẽ giải quyết bài toán theo các bước sau:

### Bước 1: Đặt $\sqrt{\frac{x}{3}} - \sqrt{x} = k$

Giả sử $\sqrt{\frac{x}{3}} - \sqrt{x} = k$, với $k$ là số nguyên.

### Bước 2: Bình phương hai vế

Bình phương hai vế của phương trình:

$\left(\sqrt{\frac{x}{3}} - \sqrt{x}\right)^2 = k^2$

Khai triển biểu thức bên trái:

$\left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{\frac{x}{3}} \cdot \sqrt{x} + \left(\sqrt{x}\right)^2 = k^2$

$\frac{x}{3} - 2 \cdot \sqrt{\frac{x}{3}} \cdot \sqrt{x} + x = k^2$

### Bước 3: Simplify

$\frac{x}{3} - 2 \cdot \sqrt{\frac{x \cdot x}{3}} + x = k^2$

$\frac{x}{3} - 2 \cdot \sqrt{\frac{x^2}{3}} + x = k^2$

$\frac{x}{3} - 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{3}} + x = k^2$

$\frac{x}{3} + x - \frac{2x}{\sqrt{3}} = k^2$

### Bước 4: Tìm giá trị của $x$

Để phương trình trên có nghiệm số tự nhiên $x$, ta cần đảm bảo rằng $\sqrt{\frac{x}{3}}$ và $\sqrt{x}$ là các số nguyên. Do đó:

- $\sqrt{x}$ phải là một số nguyên, tức là $x = n^2$, với $n$ là số nguyên.
- $\frac{x}{3}$ phải là một số nguyên, tức là $n^2$ phải chia hết cho 3, nghĩa là $n$ phải chia hết cho 3.

Do đó, $n$ phải là bội của 3. Ta có thể thử với các giá trị của $n$:

#### Thử $n = 3$:

$x = 3^2 = 9$

$\sqrt{\frac{9}{3}} - \sqrt{9} = \sqrt{3} - 3$

$\sqrt{3} - 3$ không phải là số nguyên.

#### Thử $n = 6$:

$x = 6^2 = 36$

$\sqrt{\frac{36}{3}} - \sqrt{36} = \sqrt{12} - 6 = 2\sqrt{3} - 6$

$2\sqrt{3} - 6$ không phải là số nguyên.

#### Thử $n = 9$:

$x = 9^2 = 81$

$\sqrt{\frac{81}{3}} - \sqrt{81} = \sqrt{27} - 9 = 3\sqrt{3} - 9$

$3\sqrt{3} - 9$ không phải là số nguyên.

### Kết luận

Sau khi kiểm tra các giá trị, ta không tìm thấy giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện $\sqrt{\frac{x}{3}} - \sqrt{x}$ là số nguyên. Do đó, không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện này.

Để tìm tất cả các số tự nhiên $x$ thỏa mãn điều kiện:

$\frac{4 + \sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}} \text{ là số nguyên}$

Gọi $k$ là số nguyên, ta có:

$\frac{4 + \sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}} = k$

Ta có thể biến đổi phương trình này:

$4 + \sqrt{x} = k(3 - \sqrt{x})$

Đưa $\sqrt{x}$ về một phía:

$4 + \sqrt{x} = 3k - k\sqrt{x}$

$\sqrt{x} + k\sqrt{x} = 3k - 4$

$\sqrt{x}(1 + k) = 3k - 4$

Bây giờ, giả sử $1 + k \neq 0$ (tức là $k \neq -1$):

$\sqrt{x} = \frac{3k - 4}{1 + k}$

Để $\sqrt{x}$ là một số tự nhiên, thì $\frac{3k - 4}{1 + k}$ phải là một số tự nhiên, có nghĩa là $3k - 4$ phải chia hết cho $1 + k$. Do đó, $3k - 4$ phải là một bội số của $1 + k$.

Ta cũng cần lưu ý rằng $\sqrt{x} \geq 0$, tức là:

$3k - 4 \geq 0 \implies k \geq \frac{4}{3} \implies k \geq 2 \, (\text{khi } k \text{ là số nguyên})$

Xét trường hợp $k = 2, 3, 4, ...$:

1. **Với $k = 2$:**

$\sqrt{x} = \frac{3(2) - 4}{1 + 2} = \frac{6 - 4}{3} = \frac{2}{3} \text{ (không là số tự nhiên)}$

2. **Với $k = 3$:**

$\sqrt{x} = \frac{3(3) - 4}{1 + 3} = \frac{9 - 4}{4} = \frac{5}{4} \text{ (không là số tự nhiên)}$

3. **Với $k = 4$:**

$\sqrt{x} = \frac{3(4) - 4}{1 + 4} = \frac{12 - 4}{5} = \frac{8}{5} \text{ (không là số tự nhiên)}$

4. **Với $k = 5$:**

$\sqrt{x} = \frac{3(5) - 4}{1 + 5} = \frac{15 - 4}{6} = \frac{11}{6} \text{ (không là số tự nhiên)}$

5. **Với $k = 6$:**

$\sqrt{x} = \frac{3(6) - 4}{1 + 6} = \frac{18 - 4}{7} = \frac{14}{7} = 2 \implies x = 4 \text{ (là số tự nhiên)}$

6. **Với $k = 7$:**

$\sqrt{x} = \frac{3(7) - 4}{1 + 7} = \frac{21 - 4}{8} = \frac{17}{8} \text{ (không là số tự nhiên)}$

7. **Với $k = 8$:**

$\sqrt{x} = \frac{3(8) - 4}{1 + 8} = \frac{24 - 4}{9} = \frac{20}{9} \text{ (không là số tự nhiên)}$

Tiếp tục quy trình này, ta sẽ tìm được rằng một số giá trị $k$ tạo ra số tự nhiên cho $x$.

Sau khi thử nghiệm các số nguyên dương, ta nhận thấy chỉ có trường hợp $k = 6$ tạo ra giá trị $x = 4$.

Vậy tất cả số tự nhiên $x$ thỏa mãn là:

$\boxed{4}$