### a) Chứng minh rằng ABEC là hình thoi

1. **Cho hình bình hành ABCD** với \( AB = AC \).

2. **Kéo dài trung tuyến AM của tam giác ABC** đến điểm \( E \) sao cho \( ME = MA \).

3. **Chứng minh các cạnh:**
- Trong tam giác \( ABC \), chúng ta có:
- \( AM \) là trung tuyến của tam giác \( ABC \), do đó theo định nghĩa trung tuyến, \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Vì \( AB = AC \), nên tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \).

4. **Xét cạnh \( AB \) và \( AC \):**
- Ta có:
- \( AB = AC \) (do giả thiết).
- \( ME = MA \) (do giả thiết đã kéo dài AM).
- Trong tam giác \( AMC \), bởi vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( ME = MA \), ta thấy rằng \( AM = ME \).

5. **Góc:**
- Trong hình bình hành, ta có:
- \( \angle DAB = \angle ABC \) (góc đối nhau, bằng nhau).

6. **Kết luận:**
- Ta có:
- \( AB = AC \),
- \( AE = AM = ME \),
- \( \angle ABE = \angle AEC = \angle DAB \).
- Từ đó suy ra rằng:
- \( ABEC \) là hình thoi, vì nó có 4 cạnh bằng nhau và 2 cặp góc đối bằng nhau.

### b) Chứng minh rằng C là trung điểm của DE

1. **Gọi \( D \) và \( E \) là 2 điểm trên tiếp tuyến của AM.**

2. **Xét cạnh DE:**
- Ta có \( AM \) là trung tuyến và \( ME = MA \).
- Do đó, theo định nghĩa trung tuyến:
- \( D \) và \( E \) đối xứng qua \( M \).

3. **Cận trên EM và MC:**
- \( C \) là trung điểm của \( DE \) vì \( D \) được tạo ra từ cạnh bên của hình bình hành \( ABCD \) và \( E \) đối xứng với \( A \).

4. **Kết luận:**
- Suy ra rằng \( C \) là trung điểm của \( DE \) vì \( DC = EC \).

Vậy ta đã chứng minh được hai yêu cầu:

a) \( ABEC \) là hình thoi.

b) \( C \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).