Để giải bài toán này, ta sử dụng các bước sau đây:

1. **Gọi số lít nước mắm ban đầu trong thùng là \( x \).**

2. **Lần đầu tiên lấy \( \frac{1}{4}x \) lít nước mắm ra khỏi thùng.**

Sau lần này, số nước mắm còn lại là:
\[
x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x
\]

3. **Lần thứ hai lấy \( \frac{2}{5} \) của số nước mắm còn lại, tức là \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}x \) lít.**

Số nước mắm lấy ra lần thứ hai là:
\[
\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}x = \frac{6}{20}x = \frac{3}{10}x
\]

Sau lần này, số nước mắm còn lại là:
\[
\frac{3}{4}x - \frac{3}{10}x
\]

Để tính số lít nước mắm còn lại sau lần thứ hai, ta cần phải đưa về cùng mẫu số:
\[
\frac{3}{4}x = \frac{30}{40}x
\]
\[
\frac{3}{10}x = \frac{12}{40}x
\]
\[
\frac{30}{40}x - \frac{12}{40}x = \frac{18}{40}x = \frac{9}{20}x
\]

4. **Lần thứ ba lấy \( \frac{3}{7} \) của số nước mắm còn lại sau hai lần đầu, tức là \( \frac{3}{7} \times \frac{9}{20}x \).**

Số nước mắm lấy ra lần thứ ba là:
\[
\frac{3}{7} \times \frac{9}{20}x = \frac{27}{140}x
\]

Số nước mắm còn lại sau lần thứ ba là:
\[
\frac{9}{20}x - \frac{27}{140}x
\]

Để tính số lít nước mắm còn lại sau lần thứ ba, ta đưa về cùng mẫu số:
\[
\frac{9}{20}x = \frac{315}{140}x
\]
\[
\frac{27}{140}x = \frac{27}{140}x
\]
\[
\frac{315}{140}x - \frac{27}{140}x = \frac{288}{140}x = \frac{72}{35}x
\]

5. **Số nước mắm còn lại là 8 lít.**

Ta có phương trình:
\[
\frac{72}{35}x = 8
\]

Giải phương trình:
\[
x = 8 \times \frac{35}{72}
\]
\[
x = \frac{280}{72}
\]
\[
x = \frac{35}{9} \approx 38.89 \text{ lít}
\]

Vậy, số lít nước mắm ban đầu trong thùng là \( \frac{35}{9} \approx 38.89 \) lít.