Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Vẽ hình theo mô tả:
- Vẽ tam giác ABC với cạnh trên BC.
- Chia cạnh BC thành hai phần BD và DC sao cho BD = 2/3 DC.
- Vẽ đoạn thẳng AD và chia AD thành ba phần bằng nhau, gọi M và E lần lượt là trung điểm của AD và DE.
- Kết nối các điểm B, E, D, M và C để tạo thành tam giác BED.

2. Chứng minh diện tích tam giác BED bằng 4cm²:
Vì AM = ME = ED, ta có AM = ME = ED = x (giả sử).
Khi đó, ta có diện tích tam giác BED = diện tích tam giác BEM + diện tích tam giác EMD + diện tích tam giác BED.
Diện tích tam giác BEM = 1/2 * BM * ME = 1/2 * BD * x = 1/2 * (2/3) * x * x = x²/3.
Diện tích tam giác EMD = 1/2 * DM * ME = 1/2 * DC * x = 1/2 * (3/2) * x * x = 3x²/4.
Diện tích tam giác BED = x²/3 + 3x²/4 + x² = 4x²/3.
Với diện tích tam giác BED bằng 4cm², ta có: 4x²/3 = 4 => x² = 3 => x = √3.

3. Tính diện tích tam giác ABC:
Gọi H là hình chiếu từ A xuống BC. Ta có AH = 2/3 HD và AH = x = √3.
Khi đó, diện tích tam giác ABC = diện tích tam giác AHB + diện tích tam giác AHC + diện tích tam giác ABC.
Diện tích tam giác AHB = 1/2 * AB * AH = 1/2 * BC * √3 = BC * √3 / 2.
Diện tích tam giác AHC = 1/2 * AC * AH = 1/2 * BC * 2√3 = BC * √3.
Diện tích tam giác ABC = BC * √3 / 2 + BC * √3 + 4 = 5BC * √3 / 2.
Với diện tích tam giác BED bằng 4cm², ta có: 4 = 4BC * √3 / 2 => BC = 1/√3 cm.
Vậy diện tích tam giác ABC là 5/√3 cm².