Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Diện tích phần tô đậm cần tính là diện tích của tứ giác AMON.

Ta có $\frac{{\text{S}}_{\text{BOM}}}{{\text{S}}_{\text{BOC}}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ mà 2 tam giác này chung đáy BO nên chiều cao hạ từ M xuống BO bằng $\frac{1}{2}$ chiều cao hạ từ C xuống BO.

Tam giác MON và tam giác NOC có chung đáy ON và chiều cao hạ từ M xuống ON bằng $\frac{1}{2}$  chiều cao hạ từ C xuống ON nên $\frac{{\text{S}}_{\text{MON}}}{{\text{S}}_{\text{NOC}}}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra S_MON = $\frac{1}{2}$ S_NOC = $\frac{1}{2}\times 8=4$ (cm²).

Ta có $\frac{{\text{S}}_{\text{MNC}}}{{\text{S}}_{\text{BNC}}}=\frac{4+8}{10+8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$  mà 2 tam giác này có chung đáy CN nên chiều cao hạ từ M xuống CN bằng $\frac{2}{3}$  chiều cao hạ từ B xuống CN.

Tam giác AMC và tam giác ABC có chung đáy AC, chiều cao hạ từ M xuống AC bằng $\frac{2}{3}$  chiều cao hạ từ B xuống AC nên $\frac{{\text{S}}_{\text{AMC}}}{{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{2}{3}$ .

Ta có S_AMC + S_BMC = S_ABC nên suy ra S_BMC = S_ABC – S_AMC = S_ABC –$\frac{2}{3}$ S_ABC = $\frac{1}{3}$ S_ABC.

Do đó S_ABC = 3S_BMC = 3 × (5 + 10) = 45 (cm²).

Diện tích tam giác AMC là $\frac{2}{3}\times 45=30$ (cm²).

Diện tích tứ giác AMON là 30 – 8 = 22 (cm²).