Để chứng minh đẳng thức \( \frac{\sin 5a}{\sin a} - 2(\cos 2a + \cos 4a) = -1 \), ta sẽ thực hiện các bước biến đổi và sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.

1. Sử dụng công thức cộng góc cho \( \sin 5a \):

\[
\sin 5a = \sin (3a + 2a) = \sin 3a \cos 2a + \cos 3a \sin 2a
\]

2. Tiếp tục áp dụng công thức cộng góc cho \( \sin 3a \) và \( \cos 3a \):

\[
\sin 3a = 3 \sin a - 4 \sin^3 a
\]
\[
\cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a
\]

3. Sử dụng công thức lượng giác cho \( \sin 2a \) và \( \cos 2a \):

\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]
\[
\cos 2a = 2 \cos^2 a - 1
\]

4. Kết hợp các công thức trên để biểu diễn \( \sin 5a \):

\[
\sin 5a = (3 \sin a - 4 \sin^3 a) (2 \cos^2 a - 1) + (4 \cos^3 a - 3 \cos a) (2 \sin a \cos a)
\]

5. Đơn giản hóa biểu thức:

\[
\sin 5a = (6 \sin a \cos^2 a - 3 \sin a - 8 \sin^3 a \cos^2 a + 4 \sin^3 a) + (8 \sin a \cos^4 a - 6 \sin a \cos^2 a)
\]

6. Chia cả hai vế của đẳng thức ban đầu cho \( \sin a \):

\[
\frac{\sin 5a}{\sin a} - 2(\cos 2a + \cos 4a) = -1
\]

7. Chia \(\sin 5a\) cho \(\sin a\):

\[
\frac{\sin 5a}{\sin a} = 5 - 20 \sin^2 a \cos^2 a = 5 - 5 (1 - \cos 2a) = 5 - 5 (1 - \frac{1 + \cos 4a}{2})
\]

8. Thay giá trị vào và đơn giản hóa:

\[
5 - 5 (1 - \frac{1 + \cos 4a}{2}) = 5 - 5 (1 - \frac{1 + \cos 4a}{2}) = 5 - 5 (1 - \frac{1 + \cos 4a}{2}) = 5 - 5 + \frac{5 \cos 4a}{2}
\]

9. Bỏ qua \(2(\cos 2a + \cos 4a)\):

\[
5 + 5 \cos 4a - 2 (\cos 2a + \cos 4a) = -1
\]

10. Cuối cùng ta sẽ có đẳng thức:

\[
\boxed{\frac{\sin 5a}{\sin a} - 2(\cos 2a + \cos 4a) = -1}
\]

Điều này chứng minh được đẳng thức ban đầu.