Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chúng ta có \( A = 3^0 + 3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{99} \). Để chứng minh tổng này chia hết cho 4, ta sẽ xem xét tính chất lũy thừa của 3 khi chia cho 4.

### Quan sát lũy thừa của 3 khi chia cho 4
Chúng ta tính một số lũy thừa của 3 khi chia cho 4:
\[
3^0 \equiv 1 \ (\text{dư} \ 1)
\]
\[
3^1 \equiv 3 \ (\text{dư} \ 3)
\]
\[
3^2 \equiv 9 \equiv 1 \ (\text{dư} \ 1)
\]
\[
3^3 \equiv 27 \equiv 3 \ (\text{dư} \ 3)
\]
\[
3^4 \equiv 81 \equiv 1 \ (\text{dư} \ 1)
\]
Ta thấy rằng các lũy thừa của 3 khi chia cho 4 lặp lại theo chu kỳ 2:
\[
3^{2k} \equiv 1 \ (\text{dư} \ 1) \quad \text{và} \quad 3^{2k+1} \equiv 3 \ (\text{dư} \ 3)
\]

### Tổng các lũy thừa theo chu kỳ
Chúng ta chia tổng \( A \) thành các cặp:

\[
A = (3^0 + 3^1) + (3^2 + 3^3) + \cdots + (3^{98} + 3^{99})
\]

Với mỗi cặp:

\[
3^{2k} + 3^{2k+1} \equiv 1 + 3 \equiv 4 \equiv 0 \ (\text{dư} \ 0)
\]

Vì mỗi cặp lũy thừa tổng là 4 và có 50 cặp như vậy (từ \( 3^0 \) đến \( 3^{99} \)), nên tổng \( A \) là tổng của 50 số chia hết cho 4:

\[
A = 50 \times 4 = 200 \quad \text{(chia hết cho 4)}
\]

Do đó, \( A = 3^0 + 3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{99} \) chia hết cho 4.

...Xem thêm

Answer 2